今天写一篇教学随笔，记录三年级上学期对一道题目的思考。
01
在学完第二单元《万以内加减法（一）》后，《课作》p12有这样一道题：
解决这类问题，一般情况是找到题目中不变的数量，再将错就错。利用加减法各部分之间的关系，从错误的结果入手，推出正确的答案。根据题目意思先写出□—460=270,再求出被减数460+270=730，最后列式730-640=90。
也有的学生会发现数量的变化，通过倒推从而求出被减数。题中把减数640看成460，说明减数少了640-460=180，减数少了说明少减，少减要减回去，所以原来的差继续减180，即270-180=90。
对比两种方法，你觉得哪一种更好呢？
刚开始教学时，我通常都会强调第一种，要求每个学生都能掌握，而第二种方法如果有学生想到就介绍，不要求所有学生都掌握。
然而在学完第四单元《万以内加减法（二）》后，又遇到了这样的题目：
由于题目中出现了两个数看错，一开始觉得不能用第一种方法，先求出被减数再计算。
于是想到了第四单元中的简便计算，如700-398，可以把398看成400，多减2，所以要加2，即多减要加；如599+399，可以把599和399看成600和400再减2，即多加要减。
沿用这个思路，在教学上面的题目时，被减数十位上的5看成了8，也就是被减数增加了80-50=30，差也增加了30，要求正确的差，需要减30。同理，减数百位上的3看成了2，也就是减数少了300-200=100，差少减了100，需要再减100。
最终列式：349-30-100=219。
如此教学，是否可行呢？在一次测试统计中发现只有约40%的学生能够掌握这种方法。说明方法这种方法虽然正确，但对中等生及后1/3的学生来说比较困难。
于是，通过反复练习，加上口诀总结“多加要减、多减要加、少加要加、少减要减”，大部分学生掌握。现在回顾反思，如果没有对运算中的各部分变化规律的理解，光记住口诀是没有意义的。怎么做帮助学生更好地解决错中求解这类问题呢？
02
数学家波利亚在《怎样解题》一书中，提出了许多的解题策略，如借助一般化和特殊化（“你能否想到一道更容易着手的相关题目？一道更为特殊化的题目？一道类似的题目？”）如问题分解和重组（“你能解出这道题目的一部分吗？”“你能从已知量中得出一些有用的东西吗？”
华罗庚也曾说过，善于退，足够退，退到最原始而不失重要的地方。退到我们最容易看清楚的地方，认透了，钻深了，然后再上去，是学好数学的一个诀窍。
在教学第四单元的这道题时，可以退到第二单元这道题中，根据题意先写出如下算式，引导学生在方框中填数，补充为一道三位数不退位减法算式，再填入正确的算式中计算出结果。
在期末复习课中，也尝试了这样的教学， 大部分学生能够掌握这类较难的错中求解题，学生感觉更加能够接受一些。
03
反思这道题的教学，有以下三点感受：
1.习题教学，不应求全，而应求变。
在教学第一次的错中求解时，教师要让题目进行变式。我们可以提前渗透类似第四单元中的习题，让学生初步感受这类问题的结构。
即使一开始只有少数人能完成，等到第二次教学时，学生有了熟悉的感觉，正确率自然就能提高。通过变式培养学生思维的灵活性和深刻性，有助于后面求解类似习题。
2.关注学生差异，实现水平进阶。
对比两道题目，本质都是考查学生的推理能力。不同学生的水平不同，因此教学时要关注学生推理能力的水平进阶，知道不同的学生会有怎样的表现。
在教学时，要循序渐进，可以先请弱生，暴露问题；再请中等生讲解，逐步优化，提升思维水平。
3.设计题组练习，以不变应万变。
刚开始的两种方法，求不变的数和求变化的数，看似是两种不同的方法，其实关键都是寻找不变量，只不过第2种方法是把□中的数当作了不变量。
教师可以借助题组练习，不仅可以让学生灵活掌握此类题目，让学生感受题目中蕴含的不变量，而且在完成练习后要引导学生再认识，通过回顾反思，找到一般化的策略和方法。
