换元法的两种情况 2019-10-24

（重点其实在最后一段。）

设有函数： $f(x) = 4^x + 2^{x+1} + 1，x\in \mathbb{R}$

1) 正规的换元法

设 $t = 2^x$ , 可得 $g(t) = t^2 + 2t +1 = (t+1)^2$ 。

这里重要的是 $g(t) = t^2 + 2t +1 = (t+1)^2$ ，而不是 $f(t) = t^2 + 2t +1 = (t+1)^2$ 。因为 $f(t) = 4^t + 2^{t+1} + 1$ 。 $g和f$ 表示是两个不同的函数。

也可以这么想，用 $t = 2^x$ 代换入 $4^x + 2^{x+1} + 1$ ，得 $(t+1)^2$ 。然后函数式等号左边写什么呢？不能写 $f(x)$ 吧，因为等号右边的函数自变量是 $t$ 。等号左边也不能写 $f(t)$ ，因为 $f(t) = 4^t + 2^{t+1} + 1$ 。显然这是一个新函数， $g(t) = (t+1)^2$ 。

$x\in \mathbb{R}$ ，由 $t = 2^x$ 可得 $t\in (0, +\infty)$ ，也就是 $g(t)$ 的作用域为 $t\in (0, +\infty)$ 。

重点： $g(t) = f(x)$ ，所以可以通过计算 $g(t)$ 最终计算 $f(x)$ 。

$g(t)与f(x)$ 的值域一样，因为它们值相等。虽然 $g$ 与 $f$ 是不同的函数，但因为 $t$ 与 $x$ 特定的关系， $g(t) = t^2 + 2t +1$ $= {2^x}^2 + 2\times 2^x + 1 = 4^x + 2^{x+1} + 1$ $= f(x)$ 。

2) 另一种换元法，其实是第一种的反向计算

还是根据最上面的函数，有些题可能会让你计算 $f(t)$ ，其中 $t$ 是 $x$ 的某个算式。

2.1）例： $t = 2x$

$f(2x) = f(t) = 4^t + 2^{t+1} + 1$

$= 4^{2x} + 2^{2x + 1} + 1$

$= 16^x + 4^{x + \frac{1}{2} } +1$

由 $f(t) = 4^t + 2^{t+1} + 1$ 可知 $t\in \mathbb{R}$ ， $2x = t$ ，则 $x\in \mathbb{R}$ 。但这里这个 $x$ 是 $f(2x) = 16^x + 4^{x + \frac{1}{2} } +1$ 中的 $x$ 。

重点： $f(t) = f(2x) \neq f(x)$ ，注意这里没有 $g(t)$ ，因为计算 $f(2x)$ 是计算 $f(t)$ 。而 $f(2x)$ 不等于 $f(x)$ ，虽然 $f$ 是同一个 $f$ ，函数是同一个函数，但自变量不一样，一个是 $2x$ ，另一个是 $x$ ，所以 $f(2x) \neq f(x)$ 。如果 $f(2x)$ 看着别扭，可以这么想 $g(x) = f(2x) = 16^x + 4^{x + \frac{1}{2} } +1$ ，这样就表示成了以 $x$ 为自变量的函数 $g(x)$ 。同时 $g(x) = f(t) = f(2x) \neq f(x)$ 。

2.2）例： $t = \log_2 x$

$f(\log_2 x) = f(t) = 4^t + 2^{t+1} + 1$

$= 4^{\log_2 x} + 2^{\log_2 x + 1} + 1$

$= x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$

由 $f(t) = 4^t + 2^{t+1} + 1$ 可知 $t\in \mathbb{R}$ ， $t = \log_2 x$ ，则 $x\in (0, +\infty)$ 。注意这里这个 $x$ 是 $f(\log_2 x) = (x + 1)^2$ 中的 $x$ 。要是实在看不惯，可以认为 $f(t) = f(\log_2 x) = (x + 1)^2 = g(x)$ 。然后 $g(x) = (x + 1)^2，x\in (0, +\infty)$ 。

重点： $f(t) = f(\log_2 x) \neq f(x)$

3) 重点其实在这里

以上一切其实都不用记忆。只需要记住这两点，

$\bullet$ 第一种 $t = 2^x$ ，是用 $t$ 替换函数式等号右边算式里的 $2^x$ 。而替换后，显然等式左边就不再是 $f(x)$ ，而是 $g(t)$ 。

$\bullet$ 而第二种，设 $t = \log_2 x$ ，是用 $t$ 替换 $f(x)$ 的自变量成为 $f(t)$ 。这里稍微麻烦些，要知道 $f(t)$ 还是 $f$ 函数，形式没变，自变量变成 $t$ 而已，所以既然 $f(x) = 4^x + 2^{x+1} + 1，x\in \mathbb{R}$ ，则 $f(t) = 4^t + 2^{t+1} + 1，t\in \mathbb{R}$ 。然后把等号左右的 $t$ 都用 $\log_2 x$ 替换掉。

只需要记住这两点，以上的各种性质，计算方法，哪个函数等于哪个函数，哪些函数不相等，等等都可以在脑子里推导出来。不用背，不用背，不用背（重要的事情说三遍）。只需要记住这里的两点，然后自己多推导几遍上面的种种性质，卡壳的地方看看上面写的推导。只要自己能顺理成章的推导出上面的种种性质，这两个问题就完全掌握了。需要死记硬背的只有这一段写的两点而已。