离散型随机变量分布

一、0-1分布(伯努利分布)

    随机试验只有两个可能的结果,常用0-1分布来表示。

    特征值:EX=p


二、二项分布 B(n,p)

    n重伯努利试验中,每次实验中感兴趣的事件A,在n次实验中发生的次数——X是离散型随机变量,若P(A)=p,则

        P_{n}(k)=P(X=k)=C_{n}^k p^k(1-p)^{n-k},k=0,1,...,n

    称X服从参数为n,p的二项分布,记作X~B(n,p)。

    ※ 0-1分布是n=1的二项分布。

    特征值:EX=np,DX=np(1-p)



三、超几何分布 

        从有限个N物体中,抽取n个物体,成功抽出指定种类M物体的次数X(不放回)。

        之所以称之为超几何分布,由于其形式与"超几何函数"的级数展开式的系数有关。

        P(X=m)=\frac{C_{M}^mC_{N-M}^{n-m}}{C_{N}^{n}}   ,m=0,1,...l, l=min(M,n)

        称,X服从参数为n,M,N的超几何分布,记作X~H(n,M,N).



四、泊松分布 P(λ)

    泊松分布用于描述单位时间内,随机事件发生的次数X为随机变量,

        P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} ,k=0,1,...

    则称X服从参数为λ的Poisson分布,其中λ>0为常数,记作X~P(λ)

特征值:EX=λ,DX=λ


五、几何分布

    在伯努利试验中,以X记时间A首次发生的实验次数,则X为一个离散型随机变量,

         P(X=k)=q^{k-1}p , k=0,1,...

    则称X服从参数为p的几何分布,记作X~GE(p)

    ※几何分布的无记忆性:

        P(X=m+k|X>m) = P(X=k)

         是指,若前m次试验均失败,那么还需要k次A才会首次发生的概率,等于一开始就进行k次时A会首次发生的概率相同。(即当前需要进行k次A才会发生的概率与之前失败次数无关,简单点说就是把过去的经历都忘了,这种性质称为无记忆性)

        EX=1/p


六、巴斯卡分布

    在伯努利实验中,以r次成功时, 试验的次数X为随机变量,       

        P(X=k)=C_{k-1}^{r-1}q^{k-r}p^{r},k=r,r+1,...

    称X服从参数为p的巴斯卡分布。




七、负二项分布

    X为离散型随机变量,其可能取值为0,1,2....的概率为

        P(X=k) = C_{-r}^kp^r(-q)^k =C_{r+k-1}^kp^rq^k,k=0,1,2,...

    其中r为常数大于0,称X服从负二项分布

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