一文搞懂朴素贝叶斯分类
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什么是朴素贝叶斯
要搞懂朴素贝叶斯分类，首先需要了解什么是贝叶斯定理和特征条件独立假设，朴素贝叶斯算法就是基于这两个来实现的分类方法。
贝叶斯定理
贝叶斯定理通俗点讲就是求在事件 B 已经发生的前提下，事件 A 发生的概率，记为 P(A|B)，被就成为 A 的后验概率，也称为条件概率。
其基本公式为：
P(A|B) = \frac{P (A)*P(B|A)} {P(B)}
P(A)就叫做先验概率或边缘概率。
P(B|A) 就是在 事件A 发生情况下的 B 事件的概率分布，也是条件概率。
公式记不住怎么办，A 和 B 太容易混淆了。有办法，我们来推导一遍，首先 A 和 B 同时发生的概率被成为联合概率，表示为 P(AB)、P(A,B)、P(A ∩ B)。学过概率我们应该都知道，条件概率公式为:
P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}
若由两个事件推广到无穷多个事件，条件概率公式可扩展为:
P(A_{_1}A_{_2}...A_{_n}) = P(A_{_1})P(A_{_2}|A_{_1})...P(A_{_n}|A_{_1}A_{_2}...A_{n-1})
取 n=2, 令A_2 = B, 则P(AB) = P(A)P(B|A), 代入上述公式即可得到贝叶斯定理公式。
还有一个是全概率：设事件{Aj}是样本空间Ω的一个划分，且P(Ai)>0，那么对于任意事件 B，全概率公式为:
P(B) = \sum\limits_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)
我们将 上面公式也带入到贝叶斯定理中去，最终 贝叶斯公式得到:
P(A|B) = \frac{P (A)*P(B|A)}{\sum\limits_{i=1}^nP(A_i)*P(B|A_i)}(公式①)
此处休息 2 分钟
特征条件独立
搞懂了贝叶斯定理，我们再来看特征条件独立，这个就很好理解了。先从数学角度描述一下，然后再通过例子详细说明。假设有一训练集(X,Y),输入 X 记为x=(x1, x2, ..., xn)， 表示每个样本 x 都有 n 维特征，输出 Y 为类标记集合，记作 y={y1, y2, ..., yk}, 表示类标记集合有 k 种类别。如果新来一个样本 m，判断它属于 Y 的哪个类别, 转化为概率问题其实就是求解 m属于 Y 哪个类别的概率最大。在这过程中，我们假设 x 的各个特征都相互独立，这个就是特征条件独立假设，根据条件独立公式 P((A,B)|C) = P(A|C)* P(B|C)可得对应公式为:
P((X_1, X_2, ..., X_n) | Y_k) = P (X_1|Y_k) \ *...\ *P(X_n|Y_k) = \prod_{i=1}^nP(X_i|Y_k) (公式②)
再冷静一下
现在我们有公式一和公式二，将公式②代入公式①中，可得:
P(Y_k|X) = \frac{P(Y_k)*\prod_{i=1}^nP(X_i|Y_k)}{\sum\limits_{i=1}^kP(Y_k)*\prod_{i=1}^nP(X_i|Y_k)}
因此，朴素贝叶斯分类器表达式可以转化为为:
y = argmax\frac{P(Y_k)*\prod_{i=1}^nP(X_i|Y_k)}{\sum\limits_{i=1}^nP(Y_k)*\prod_{i=1}^nP(X|Y_k)} 公式③
又因为对于所有的样本中，公式③的分母都是一样的，朴素贝叶斯分类器表达式最终为:
y = argmax{P(Y_k)*\prod_{i=1}^nP(X_i|Y_k)}
至此可以看出，分类问题其实就是数学中求最大概率的问题。
通过例子了解朴素贝叶斯分类
比如 下一篇我们即将实现的垃圾短信分类器。首先大概确定一份邮件中出现哪些特征会被判定为垃圾邮件。假设有100封邮件样本，我们已经标注垃圾邮件有25封，垃圾邮件中含有“便宜”、“发票”、“乱码”等字样。根据朴素贝叶斯分类器原理，一个样本判断属于哪个类别是求最大概率问题。通过分析得到:
- P(垃圾邮件) = 0.25 (先验概率)
- P(便宜|垃圾邮件) = 10/25 = 0.4 (条件概率)
- P(发票|垃圾邮件) = 15/25 = 0.6
- P(乱码|垃圾邮件) = 20/25 = 0.8
通过朴素贝叶斯公式可得
P(垃圾邮件|(便宜,发票,乱码)) = 0.048 (后验概率)
- P(正常邮件) = 0.75
- P(便宜|正常邮件) = 5/75
- P(发票|正常邮件) = 3/75
- P(乱码|正常邮件) = 1/75
通过朴素贝叶斯公式可得
P(正常邮件|(便宜,发票,乱码)) = \frac{1}{37500}
通过比较，发现 P(垃圾邮件|(便宜,发票,乱码))>P(正常邮件|(便宜,发票,乱码))。因此如果再来一份新邮件，如果出现便宜，乱码，发票字样，那么我们预测为垃圾邮件。
PS：由于在实际问题中，可能会出现某些特征条件概率为 0 的情况，并不是说不存在这种情况，而是数据样本未采集到对应的数据。针对这种情况，一般采用拉普拉斯平滑来修正，具体的用法暂时先不说明了，简单来说假设样本为 1 来避免。
最后
朴素贝叶斯假设就是对条件概率分布做了条件独立的假设，由于这是一个较强的假设，因此朴素两字也是这样来的，也正因为这个假设条件，使得朴素贝叶斯高效，而且易于实现，对应的缺点也因为假设太强，分类的性能不一定很高。
朴素贝叶斯分类其实在日常生活中我们经常会用到，比如说路上走来一个人，我们一眼就能看出它是男人还是女人，或是黄种人还是白种人。在企业中，判断信用卡诈骗，病人分类，新闻分类等都使用的是朴素贝叶斯分类。
在下一篇中，我们将运用朴素贝叶斯分类器算法来实现一个垃圾短信分类检测器，敬请期待。
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