人类可穿越的虫洞

1.介绍

可穿越的虫洞是科学文献的主要内容。在经典广义相对论中，它们被平均零能量条件所禁止[1,2,3]。有趣的是，它们在量子理论中是被允许的，但是一旦被捕获，穿过虫洞所需的时间应该比在两个洞口外部之间穿梭的时间要长。然而，它们是我们所知道的物理定律所允许的结构。事实上，基于文献[5]中的初始构造，四维可穿越虫洞在[6]中被构造出来，也可参见[7，8]。[6]中的构造涉及标准模型中存在的成分，但仅在短距离内。因此理论只发现了微小的虫洞的存在。

在这篇论文中，我们重新审视这个问题，并进行一些“科学研究”。也就是说，我们将引入一个具有理想性质的暗扇区来构造宏观可穿越虫洞。这个暗扇区只能通过引力与标准模型相互作用。我们的主要观点是强调这些虫洞与我们目前所知的物理定律的一致性，且只使用先前的一些超越标准模型的物理概念。特别是，我们将使用Randall-Sundrum模型[9]。

我们的构造需要一个带有U（1）对称性的四维共形场理论组成的暗扇区，该对称性由四维（暗）规范场决定。一个简单的例子是许多无质量费米子耦合到U（1）规范场的理论[6]。使用带有U（1）规格场的Randall-Sundrum II模型[10]，可以获得更好的虫洞。这个模型允许足够大的虫洞可以被人类穿过，也就是说，在潮汐力的作用下幸存下来。利用它们，人们可以在不到一秒钟的时间内往返于银河系的遥远点之间。一秒是对于穿过虫洞的观察者，如果有人从外面看的话，那将是几万年。

本文组织如下。在第二节中，我们回顾了建造可穿越虫洞的主要思想，并讨论了涉及无质量带电费米子的例子。在第三节中，我们考虑兰德尔-桑德鲁姆模型，并认为我们可以有足够大的虫洞来容纳人类旅行者。在讨论部分，我们提到了一些进一步的实际问题，这些问题使得这些虫洞在实际操作中会遇到难题。

2. 可穿越虫洞综述

2.1 准备工作

我们将要考虑的理论包含引力、一个U（1）规范场和一个具有U（1）对称性的四维物质理论，我们用动态规范场来规定这个对称性。

$S=\frac{1}{16 \pi G_{4}} \int d^{4} x \sqrt{g} R-\frac{1}{4 g_{4}^{2}} \int d^{4} x \sqrt{g} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}+S_{\operatorname{mat}}\left[g_{\mu \nu}, A_{\mu}\right]$ （2.1）

式中， $F_{\mu \nu }$ 是通常的场强， $F=dA$ 。 $A_{\mu }$ 和 $S_{mat}$ 都是暗区的一部分

在[6]提到的物质理论中， $S_{mat}$ 是由U（1）对称性掌控下的 $N_{f}$ 个无质量费米子给出的。在这里，我们考虑一个全息的物质理论，即它有一个由五维重力和一个五维U（1）规范场描述的AdS5对偶场，我们也称之为 $A_{\mu }$ 。我们稍后将更详细地讨论它。

该结构的一个重要特性是：在恒定磁场存在的情况下，四维物质理论导向二维理论，中心电荷与总磁场呈线性关系。

$c_{2} \propto B \mathcal{A}=2 \pi q$ （2.2）

式中，B为磁场， $A_{i}$ 为横截面积，q为整数磁通。我们可以想象将横向区域划分为光量子，每个光量子有一定的中心电荷。对于 $N_{f}$ 个自由费米子的情况，，中心电荷为 $c_{2} =N_{f} q$ ，由于q 2d无质量模式。[11，12]。四维描述和二维描述之间的转换发生在距离尺度上。

$l_{B} \propto \frac{1}{\sqrt{B}}$ （2.3）

2.2 磁性黑洞

我们从强磁性黑洞的几何学开始

$d s^{2}=-f d t^{2}+\frac{d r^{2}}{f}+r^{2}\left(d \theta^{2}+\sin ^{2} \theta d \phi^{2}\right), \quad A=\frac{q}{2} \cos \theta d \phi$ （2.4）

$f=\left(1-\frac{r_{e}}{r}\right)^{2}, \quad r_{e} \equiv \frac{\sqrt{\pi} q l_{p}}{g_{4}}, \quad l_{p} \equiv \sqrt{G_{4}}, \quad M_{e}=\frac{r_{e}}{G_{4}}$ （2.5）

其中q是（整数）磁荷， $M_{e}$ 是极值处的质量。 $r_{e}$ 设置临近水平区域中几何体的曲率半径，也是两个球体的大小。在这个极限条件下，几何体形成一个有限的喉道（ $r\rightarrow r_{e}$ ），其中红移因子 $g_{tt}$ 变得非常小，但球体的尺寸保持不变，见图1（a）。

当我们把物质理论放在这个背景下，它会导致二维CFT的尺度小于（2.3）。请注意，正确的磁场大小是：

$B=\frac{q}{2 r^{2}}$ （2.6）

对于大的q， $q\gg 1$ ，远大于球体大小的倒数。这意味着当我们考虑四维理论和二维理论之间的转换时，我们可以忽略两个球体的曲率。因此，我们可以在平面空间中研究这种转变。我们稍后将详细讨论全息理论是如何发生的。

2.3 虫洞假设

现在我们将考虑两个相距一定距离且具有相反电荷的黑洞。天然地，他们会吸引和融合。然而，让我们首先想象一下，它们以某种方式固定下来的，这样我们就可以暂时忽略这个问题了。我们稍后再讨论。

如果我们有两个独立的极端黑洞，每个黑洞都会有一个如图1（a）所示的狭长喉咙。我们现在通过连接喉道来改变喉道的几何结构，以便深喉区的几何结构由下式给出：

$d s^{2}=r_{e}^{2}\left[-\left(\rho^{2}+1\right) d \tau^{2}+\frac{d \rho^{2}}{\left(\rho^{2}+1\right)}+\left(d \theta^{2}+\sin ^{2} \theta d \phi^{2}\right)\right], \quad-\rho_{c} \leq \rho \leq \rho_{c}$ （2.7）

请注意，球体的大小是恒定的。这是AdS2×S2几何结构的一部分，它是重力和磁场方程的解。除了 $\rho$ =± $\rho _{c}$ 外，几何结构用极端黑洞（2.4）描述。最终几何形状如图（1）（b）所示。它有一个自由参数，即虫洞的总长度。我们将把这个量定义为（2.7）中的时间与（2.4）中的渐近时间之比

$\ell=\frac{t}{\tau}$ （2.8）

图1：（a）我们看到一个单极端黑洞的几何结构草图。它形成了一个局部 $ADS_{2} \times S^2$ 几何形状的长喉道。（b）虫洞几何学。我们从两个独立的喉咙开始，然后把它们连接起来。连接喉道的几何形状为 $ADS_{2} \times S^2$ 。虫洞的两个口在一定距离d处。红色括号表示度量（2.4）和（2.7）的重叠有效性区域。绿线表示磁力线。它们形成闭合的圆圈，进入一个口，穿过虫洞，离开另一个口，然后回到周围空间的第一个口。

根据 $\ell$ ，我们还可以找到（2.7）和（2.4）中径向坐标之间的关系:

$\rho=\ell \frac{\left(r-r_{e}\right)}{r_{e}^{2}}, \quad \text { for } \rho \gg 1, \quad \text { and } \quad r-r_{e} \ll r_{e}$ (2.9)

最后两个条件确保我们远离虫洞的中心，但我们在喉咙深处。对于“ $r_{e}$ ”，有一个重叠区域，我们把黑洞（2.4）的近视界区域（2.7）粘在虫洞区域（2.7）上，见图（1）（b）。

在这一步之后，我们并没有爱因斯坦+麦克斯韦方程组的解。为了得到一个实际的解决方案，我们需要考虑物质的影响。这种物质表现为二维共形场理论，中心电荷与q（2.2）成比例。这种二维CFT可以看作是由一些独立的CFT组成，每个CFT沿着磁场线存在。这些磁力线形成了圆圈。它们进入虫洞的一个口，然后从另一个口出来，见图（1）（b）。圆上的二维理论会产生负的卡西米尔能量。这给了一些额外的负能量，将虫洞转化为长度参数（2.8）的特殊值的解。

这里我们不再重复解决方案的全部论点，详见[6]。这涉及到解一个有源的爱因斯坦方程，该源由二维场理论中的量子应力张量给出。

施加爱因斯坦方程，我们稍微变形度量（2.4），（2.7），并确定（2.8）中的参数 $\ell$ 。我们在这里只回顾一个简单的方法来确定虫洞的最终参数，它可以被看作是一个能量最小化的论据。

结果表明，将 $ADS_{2} \times S^2$ 区域连接到“长度”空间的所花费的引力能量与温度为 $T=1 /(2 \pi \ell)$ 的黑洞在极值以上的能量相同[6]。如果我们注意到（2.8）中的重标度与我们在一个近极端黑洞的近视界区域的Rindler时间和渐近时间 $t$ 之间的重标度是相同的。这个能量是单个近极端黑洞质量的两倍：

$E_{\text {gravity }}=2 M=2 M_{e}+\frac{r_{e}^{3}}{G_{4} \ell^{2}}$ （2.10）

二维共形场理论产生出一个负的Casimir能量等于：

$E_{\text {Casimir }}=-\frac{c_{2}}{8 \ell}$ （2.11）

这也包括由于AdS2共形异常造成的贡献。这里 $c_{2}$ 是二维CFT（2.3）的总中心电荷。在写这个表达式时，我们假设 $d\ll \ell^d$ 。加上这两个贡献，并将 $\ell$ 极限化，我们得到：

$\ell=\frac{16 r_{e}^{3}}{G_{4} c_{2}}$ （2.12）

在能量表达式中插入（2.12），我们得到结合能：

$E_{\text {bind }}=E_{\text {gravity }}+E_{\text {Casimir }}-2 M_{e}=-\frac{c_{2}}{16 \ell}=-\frac{c_{2}^{2} G_{4}}{2^{8} r_{e}^{3}}$ （2.13）

这意味着，相对于两个独立的极端黑洞，形成虫洞会降低结构的能量。这种能量也很重要，原因如下。为了保持虫洞的开放，我们需要负的卡西米尔能量。如果我们发送太多的正能量，我们将把虫洞坍缩成独立的非极端黑洞。在这之前，我们能发送的最大能量是式（2.13）表达的能量。

我们可以从信息传递的角度来解释这种能量约束。我们可以想象用能量为 $\sim 1 / \ell$ 的量子通过虫洞发送信号。（2.13）中能量小于 $\left|E_{\mathrm{bin}}\right|$ 的约束意味着量子总数不能超过 $\sim c_{2}$ 。这意味着我们不能传递比CFT通过虫洞外的信息更多的信息。Gao–Ja fferis–Wall协议也存在类似的约束[13]。然而，在我们的例子中，我们可以讨论单位时间内的信息（即 $\sim c_{2}$ 量子比特每 $\ell$ ），而不是总的可传输量。

让我们注意一下 $\ell$ 的一些几何解释。 $\ell$ 设置虫洞中部和外部之间的红移因子。也就是说，一个在虫洞中心波长为 $1/r_{e}$ 的无质量粒子，从外部看，其能量为 $1/\ell$ 级。我们可以把这个能量称为虫洞的最小能量。结合能（2.13）比 $c_{2}$ 大一倍。此外， $\ell$ 设置从外部看穿过虫洞所需的时间，即 $\pi \ell$ 。在推导（2.12）时，我们假设两个黑洞之间的距离d小于 $\ell$ ， $d\ll \ell$ 。即使我们不做这个假设，我们也会发现穿过虫洞的时间总是比穿过外面的时间长， $\pi \ell>d$ 。另一方面，观察者穿过虫洞的正确时间是 $\pi r_{e}$ ，比 $\ell$ 短得多。这两个时间的比率为：

$\frac{\ell}{r_{e}}=\gamma$ $\gg 1$ (2.14)

这是一个粒子从非相对论性的外部到虫洞中心获得的增长因子。所以，穿过虫洞类似于加速到很高的速度然后减速。不同之处在于，加速度和减速度是由引力免费提供的，人们不必穿过周围的空间。这些虫洞是终极过山车。

我们现在可以回到防止两个虫洞口吸引的问题。请注意，从外部看，这些黑洞的质量和电荷与两个带相反电荷的极端黑洞的质量和电荷相同，只有一个很小的修正值（2.13）。我们可以让它们互相环绕。可以用比能隙小的角速度 $\Omega \ll 1 / \ell$ 来实现，这样我们就不会在虫洞内部产生破坏性的影响。当然，这样的构造会慢慢释放出引力和暗的U（1）波，最终导致它们合并。在附录B中，我们解释了这种情况发生在比穿越时间 $\pi \ell$ 长的时间尺度上。

2.4 自由费米子样例

在这一小节中，我们回顾下 $N_{f}$ 自有费米子情况下上述参数的值。在这种情况下， $c_{2} =N_{f} q$ ，其中q是整数磁荷。这导致了虫洞的长度和能隙为：

$\frac{\ell}{r_{e}}=16 \pi \frac{q}{g_{4}^{2} N_{f}}, \quad E_{\mathrm{bin}} r_{e}=2^{-8} g_{4}^{2} N_{f}^{2}$ （2.15）

只要 $g_{4}^{2} N_{f}<1$ ，该模型是可控的。否则，规范场将变得强耦合。由于某些原因，我们将在后面更详细地讨论，由于潮汐力的原因，我们需要 $r_{e}>10^{7} m$ 。如果我们进一步假设飞船的质量约为 $10^3$ kg，我们还需要条件 $\left|E_{\mathrm{bin}}\right|>10^{3} k g$ 。这意味着

$r_{e}\left|E_{\text {bin }}\right| \propto N_{f}\left(g^{2} N_{f}\right)>10^{7} m \times 10^{3} k g \quad \rightarrow N_{f}>10^{52}$ （2.16）

如果我们希望局部场理论的紫外截断高于TeV标度，那么 $N_{f}$ 的这个值就太大了，因为我们认为 $N_{f}<M_{p l}^{2} /(\mathrm{Tev})^{2} \sim 10^{32}$ 是由类Bekenstein参数引起的。由于这表明强耦合理论可能是可取的，因此自然要寻找具有AdS5引力描述的理论。

3. Randall-SundrumⅡ模型中的可穿越虫洞

在这一节中，我们将研究一个包含基于兰德尔桑德鲁姆II模型的暗扇区的理论[10]。对我们来说很重要的一个特性是它包括一个AdS5区域，该区域向红外延伸。这也可以看作是四维CFT与引力的耦合。这种观点对于描述结构是有用的，但不是必要的。它是有用的，因为我们可以证明这个AdS5理论具有上一节中描述的必要的一般性质。我们将使用的主要特性是在磁场中出现的二维CFT。

五维理论描述如下：

$S_{5}=\frac{1}{16 \pi G_{5}} \int d^{5} x \sqrt{g}\left(R-2 \Lambda_{5}\right)-\frac{1}{4 g_{5}^{2}} \int d^{5} x \sqrt{g} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}, \quad \Lambda \equiv-\frac{6}{R_{5}^{2}}$ （3.17）

它包含两个无量纲参数 $R_{5}^{3} / G_{5}$ 和 $R_{5} / g_{5}^{2}$ ，用于确定引力和规范场的（反向）耦合

3.1 从四维CFT呈现的二维CFT

在本小节中，我们认为，在磁场存在的情况下，四维理论实际上变成了二维CFT。

当我们从自由无质量的四维带电费米子开始时，二维CFT来自最低的Landau能级，这导致无质量费米子沿着磁力线传播。所以在这种情况下，这是相对容易看到的。中心电荷为 $c_{2} =N_{f} q$ 。

我们现在从全息理论或AdS5空间开始，研究在AdS5边界添加磁流体的效果。我们将推导出，当我们离开边界时，几何结构从AdS5过渡到AdS3× $R^2$ 。这个AdS3因子的存在被解释为前面讨论的二维CFT。这一必要的解决方案已在[14]中讨论过，我们将在下面对其进行回顾。

我们写出了与对称性一致的度量和规范场假设：

$d s^{2}=R_{5}^{2}\left[e^{2 \lambda}\left(-d t^{2}+d x^{2}\right)+e^{2 \sigma}\left(d y_{1}^{2}+d y_{2}^{2}\right)+d \rho^{2}\right], \quad A=B y_{1} d y_{2}$ （3.18）

把这个插入爱因斯坦方程我们发现：

$\begin{array}{ll}0=-6+3 l_{B}^{-4} e^{-4 \sigma}+\lambda^{\prime 2}+4 \lambda^{\prime} \sigma^{\prime}+\sigma^{\prime 2}, & \lambda=\lambda(\rho), \quad \sigma=\sigma(\rho) \\0=4-4 l_{B}^{-4} e^{-4 \sigma}-2 \lambda^{\prime} \sigma^{\prime}-2 \sigma^{\prime 2}-\sigma^{\prime \prime}, & l_{B}^{4} \equiv \frac{3 g_{5}^{2} R_{5}^{2}}{4 \pi G_{5} B^{2}}\end{array}$ （3.19）

我们现在提出以下观点：

对于大 $\rho$ ，我们有一个解 $\lambda=\sigma=\rho$ ，其中我们忽略了与 $l_{B}$ 成比例的项。这是几何的渐近AdS5形式。涉及 $l_{B}$ 的术语在以下情况下变得重要：

$e^{-\sigma} \sim l_{B}$ （3.20）

这可以看作是四维行为和二维行为之间的转换的距离尺度。这个标度与1/√B成比例，正如我们从一般论点中所期望的，因为B是四维意义上唯一的量纲量。

在较长的尺度下， $\sigma$ 为常数， $e^{-\sigma}=l_{B}$ ，几何结构为AdS3× $R^2$ ，AdS3半径取决于AdS5半径。更准确地说，在这个区域， $e^{-\sigma}=l_{B}$ ， $R_{3}^{2}=R_{5}^{2} / 3$ 。（3.19）的完整数值解如附录A图3所示。请注意，在IR中，当 $e^{-\sigma}=l_{B}$ 时，横向空间中磁场的适当尺寸变为一个独立于原始4d流的常数，即 $B e^{-2 \sigma} \propto \sqrt{\frac{g^{2}}{R_{5}} \frac{R_{5}^{3}}{G_{5}}}$ ，这只是五维U（1）与引力耦合的比值。一个重要的量是二维中心电荷[15,16]

$c_{2}=\frac{3 R_{3}}{2 G_{3}}=\frac{\sqrt{3} R_{5}^{3}}{2 G_{5}} \frac{\mathcal{A}}{l_{B}^{2}}=2 \pi^{3 / 2} \sqrt{\frac{R_{5}^{3}}{G_{5}}} \times \frac{\sqrt{R_{5}}}{g_{5}} \times q, \quad q=\frac{\mathcal{A} B}{2 \pi}$ （3.21）

注意 $c_{4} \propto R_{5}^{3} / G_{5}$ 是四维理论的“中心电荷”（不要与（3.21）左侧的二维中心电荷相混淆）。第二个因素是在AdS5半径范围内有效的五维轨距耦合。为了理论的有效性，两者都应该大于一。

如果我们把四维理论放在 $R^{1,1} \times S^{2}$ 上，在 $S^2$ 上有一个很大的磁流，那么我们期望得到一个稍微不同的解。然而，在磁流足够大的情况下，长度标度 $l_{B}$ 远小于 $S^2$ 的半径，那么我们期望在研究IR中AdS3× $R^2$ 几何流时可以忽略S^2的曲率。事实上，我们检查了附录A中的情况。对于我们的应用，我们有 $l_{B} / r_{e} \sim \sqrt{R_{5} / r_{e}} \ll 1$ ，所以这个近似值有效。当我们把四维理论应用于AdS2×S2时，情况非常相似。

3.2 我们考虑的Randall Sundrum II模型

现在我们将讨论正在考虑的完整模型。

我们假设我们有一个五维引力理论和一个五维U（1）规范场，如（3.17）所示。然后我们想象在AdS5的紫外方向有一个叫做“普朗克膜”的区域。它的张力被调谐，使宇宙常数e等于零，与我们考虑的距离尺度相比。换句话说，我们有AdS5度量

$d s^{2}=e^{2 \tilde{\rho} / R_{5}}\left(-d t^{2}+d \vec{x}^{2}\right)+d \tilde{\rho}^{2}, \quad \tilde{\rho}<0$ （3.22）

四维度量是 $\rho$ =0时普朗克膜所在的度量。我们设想标准模型场存在在普朗克膜上。四维牛顿常数是

$\frac{1}{G_{4}}=\frac{1}{2}$ $\frac{R_{5}}{G_{5}}$ （3.23）

如果我们把一个可能的爱因斯坦项设为零，我们可以在薄膜上加上一个爱因斯坦项。

类似地，五维规范场引出带有耦合的四维规范场

$\frac{1}{g_{4}^{2}}=\frac{R_{5}}{g_{5}^{2}} \log \left(\frac{L_{I R}}{R_{5}}\right)$ （3.24）

其中，对数可以解释为由于带电物质而导致的四维耦合常数的运行[17]。它是IR发散的，但这对我们来说不是真正的问题。当我们考虑黑洞几何结构的近视界区域时，会有一个自然的红外干扰，即 $r_{e}$ 。此外，事实上，4d理论向 $l_{B}$ 尺度的二维理论转化，提供了更短的红外衰减。所以log只给了我们一个额外的因子称为 $\log \left(l_{B} / R_{5}\right)$ 。

我们感兴趣的是使一个固定大小的虫洞尽可能的可穿越。这将涉及最大化 $c_{2}$ ，以固定的 $r_{e}$ 。这既缩短了束缚能，又增强了结合能。从（3.21）中我们可以看出，最后两个因素基本上与（2.5）中 $r_{e}$ 出现的因素相同。因此，我们希望最大化 $c_{2}$ 中的第一个因素，即使 $R_{5}^{3} / G_{5}$ 尽可能大。这反过来意味着我们希望使 $R_{5}$ 尽可能大。

根据[18]，R5的实验上限约为50µm=5×10−5m。因此，我们选取该值进行以下估算。注意（3.23）意味着 $G_{5}^{-1 / 3} \gg 1 \mathrm{TeV}$

如果 $r_{e} \gg R_{5}$ ，我们在上面的论证导致了这个模型的解决方案，因此我们可以把AdS5区域看作是一个特殊的四维场理论。我们没有使用成熟的AdS/CFT二元性，我们只是观察到5d问题会有效地减少我们可以用4d直觉分析的问题。事实上，我们并不打算明确地找到完整的5d解决方案，我们只会认为它应该存在于使用有效场理论推理的补丁求解的基础上。正如我们在上一节中所解释的，四维解只依赖于四维规范耦合和 $c_{2}$ 。见（3.24）和（3.21）。五维几何体有一个由四维虫洞几何体确定的边界。当它延伸到第五维度时，它在UV区域局部有一个AdS5几何体，在距离 $l_{B}$ （3.19）处转变为AdS3× $S^2$ 几何体，即

$l_{B}=\left[3 \log \left(r_{e} / R_{5}\right)\right]^{1 / 4} \sqrt{r_{e} R_{5}}$ （3.25）

其中我们使用了四维方程（2.5）来确定喉部区域磁场的大小。我们还用LIR∼lB估计了（3.24）中对数内的 $l_{B} \propto \sqrt{r_{e} R_{5}}$ ，得到了额外的1/2。

这意味着lB是介于R5和re之间的中间尺度，因此第3节中的讨论很好地描述了流向AdS3的流量。请注意，这种流向局部AdS3区域的流动既发生在虫洞区域，也发生在有磁场的外部区域。由于外部磁场较弱，我们流动的时间更长，并且AdS3区域的距离尺度在四维空间中更大。在外部，在两个嘴之间的区域，磁场也取决于围绕其中一个嘴的S2上的角坐标。这意味着流动距离也取决于该角度尺寸，而五维几何图形并非直接产物。

随着我们深入到AdS3区域，这个空间包含一个时间方向，空间方向如图2（b）所示。我们有一个沿着磁力线的圆圈，在这里AdS3延伸到AdS5的几何形状。然后用额外的尺寸“填充”这个圆，见图2（b）。这种AdS3几何结构导致经典的负引力能量对应于二维CFT解释中的负Casimir能量。在这个图中，整个外部区域占据了一个相对较短的空间，一部分等于d/（π`），如图2（b）中紫色所示。总之，解决方案的完整拓扑如下所示。让我们想象一下如何把虫洞的两个嘴巴装好。由于gtt永远不会消失，我们可以忘记时间方向，只讨论空间方向的拓扑结构。普朗克膜的三个空间方向有一个非平凡的拓扑结构，大致类似于图2（a）。如果我们在空间上压缩点，这三个空间维度的拓扑结构是S1×S2。在我们添加额外的维度之后，空间维度的最终拓扑基本上是D2×S2，在这里我们填充S1。

S1在整个几何中是可收缩的这一事实很有趣。拓扑审查定理指出，在经典广义相对论中，我们不能有一个非平凡的第一同伦群π1。当包含量子效应时，这是允许的。然而，看起来像是四维的量子卡西米尔能量实际上是五维的经典效应（AdS3的负经典能量）。因此，在五个维度上，拓扑审查应该起作用。它确实有效，因为五维经典几何有一个平凡的π1。更具体地说，在四维空间中，穿过虫洞的零射线不能连续变形为停留在虫洞之外的光线。这可以通过将光线移动到第五维度来实现。

我们认为这个解是存在的，但是我们可以想象用一种更明确的形式的数值来确定它。

作为一个简单的例子，我们可以更明确地讨论几何学，让我们把四维几何看作爱因斯坦静态宇宙，R×S3，并在S3上的反极点添加两个虫洞口。这不是我们正在考虑的四维引力理论的解决方案。然而，我们可以用这些四维边界条件勾画出五维方程的解的形式。优点是我们现在有一个完整的SO（3）旋转对称性，并且几何体包含一个S2因子（半径可变），用于三维其余各点。四维几何有两部分。一种是具有AdS2×S2几何结构的虫洞内部。外部区域为R×S3。AdS3中的全局坐标是深公制。这将持续到一个过渡区域，其形状大致如图2中的绿色和紫色线条所示。在该区域之后，公制采用局部AdS5形式，局部几何形状由第（3.1）节中讨论的流程确定。我们可以更明确地描述度量，并用数字来找到解决方案，但我们在这里就不做了。

3.3 人类可穿越虫洞的要求

穿过虫洞的人会受到重力潮汐力的影响，这与掉进极端黑洞的人感受到的相似。由于曲率为1/r2e级，观测者感受到的潮汐加速度大约为a∼（尺寸）/r2e。我们需要要求这小于最大可持续加速度，在短时间内约为20g，其中g=9.8m/s2

我们假设虫洞的大小大约是0.5米，我们看到虫洞口的大小应该非常大，因为我们非常脆弱。我们也把它写成时间，因为这设定了穿越虫洞所需的适当时间，即πre。用re表示所有虫洞的数量是有用的.

取re在（3.26）中的最小尺寸和R5的最大可能值，即50µm[18]，我们发现参数为

$\ell$ 以光年表示。我们看到，从外面看，穿越时间相当长。

只要两个嘴巴之间的距离 $d\leq \ell$ ，这个时间基本不变。 $\ell$ 对于d，旋转频率远小于 $1/\ell$ 。因此，如果这些虫洞是在一个空的，零温度，平坦的空间，他们可以存在一段时间，并可以穿越。

人们可能会担心，一个高度增长的观测者在通过一个弱弯曲的几何体时会感到巨大的潮汐力。一般情况下都会发生这种情况，但AdS2是增长不变的，所以旅行者不会感觉到什么特别的东西。

3.4 一些实践难题

当一个物体落入虫洞时，它会产生一个非常大的提升因子，γ，正如观察者在虫洞中心（或底部）看到的（3.27）。特别是，如果一个CMB光子落入虫洞，它的能量会因这个因素而增强。此外，在里面找到它的虫洞旅行者将看到它与这个因子的平方。所以我们必须把这个巨大的黑洞放进冰箱里才能防止这种情况的发生。因此，防止这一问题似乎非常困难。当然，任何落入虫洞的粒子都会产生相关的问题。所以虫洞在被穿越之前必须非常干净。

如果落入虫洞的粒子散开并失去能量，它们就会在里面积累，产生一些正能量，最终使虫洞坍缩成黑洞。

特别要注意的是，这个场景假设暗区的温度很低，小于 $1/\ell$ 。也许一个合适的宇宙演化可以达到这样的超低温。

一个更大的问题似乎是首先产生虫洞。它将是有趣的，了解它们是否可以在RS模型中生产。因为它们需要改变拓扑结构，这看起来很困难。

我们强调了虫洞是足够好的发送一个人。然而，我们可以考虑更小的虫洞，比如说尺寸为re∼R5，相当于质量M∼10^23kg。在这种情况下，我们可以把它们分开一个大的距离d，比如在太阳系上，那么穿越时间将与它们的距离相当。当然，它很小，潮汐力会很大。但我们可以用它们来传送非常秘密的信号或量子比特。

4. 结论

我们认为Randall-Sundrum II模型，作为标准模型之外的物理学的一个流行范例，允许穿越虫洞解决方案。事实上，它允许在虫洞足够大的情况下解决问题，一个人可以穿越它们并生存下来。

从外部看，它们类似于中等质量带电的黑洞。它们的巨大尺寸来自于要求人类旅行者能够在潮汐力下生存。它们需要很短的时间来穿越，但是从外面看却需要很长的时间。当旅行者穿过虫洞的中心时，它获得了一个非常大的提升因子γ

对于虫洞存在于寒冷和潮湿的环境中这一点，我们已经进行了最清楚的论证。我们没有给出任何合理的形成机制。我们只认为它们是等式所允许的配置。