第二次研课话题：

1.教材导引中提到“我们要注意利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理及其坐标表示，在此过程中体会平面向量与空间向量的共性和差异。”教材在编写时也特别注意引导学生与平面向量及其运算作类比，你认为类比过程中要注意哪些问题？如何指导学生？

2.你是如何理解向量方法的？你认为利用向量方法解决空间关系和度量问题的优势表现在哪些方面？为什么会有这样的优势？

3.归纳点线点面、两平行线间、线面、面面之间距离等的共性，你对距离本质有什么发现？由此你能谈谈研究投影向量的意义吗？

李福彬：1)类比是数学的一种常用方法，往往可以从内容和方法进行类比，比如：类比的内容可以从概念、从性质上等，类比的过程要注意两个对象的共性和差别，注意辨清哪些是显然成立，哪些是需要添加条件的，还要明白为什么可以类比，两者相似的地方在哪…2）向量方法的优势在于它的解决方式，我们把立体几何问题用向量表示，然后进行向量运算得出结论，向量既有大小又有方向，它的大小可以刻画长度，方向量化角度，让几何问题代数化！3）投影向量的引出，我认为所有的距离都与垂直有关，需要作垂线，而投影也与垂直有天然的关系，于是距离的给出也就自然而然与投影向量有关.

李夫宝：1）内容上的类比：二维的平面向量类比三维的空间向量，线面角的求法类比到面面角的求法等，方法上也一样。2）投影不单在求距离要用到，在坐标系中求坐标同样也用到投影.3）向量方法，实现了几何问题代数化，解决了立体几何中几何方法不好求的问题比如空间角用向量求就避免找不到角的困难，点线面问题转化为向量问题来解决，形成一个套路！

方勇兵：1）类比是重要的推理方法，空间向量与平面向量的类比，只是在维度上的拓展；2）向量方法的优势：学习必修二的立几，纯几何推理，平行垂直证明要用到的定理多，求角求距离“作-证-算”，学生很难接受，有了向量点线面转化为向量关系后，就减少一些环节，比如坐标法，我只要建系，大多问题迎刃而解，但向量法是不是最好还要因题而定，选择最合适的就是最好的；3）投影向量的意义，我认为是因为让几何量带上符号，让运算更合理！

吴小君：1）类比可以从方法内容上进行，向量从二维的平面向量类比三维的空间向量，还可以推广到n 维，要说空间向量与平面向量的差异，比如加法结合律，两者的证明就体现出区别，一个只要平面内证明即可，一个还需要分共面和不共面来论证；2）向量方法的优势：几何法依据公理定理进行逻辑推理，很多时候绕不清楚，作角一找二证三求，一旦找不到就求不了，有了向量法，运算就可以，比如所有的空间角只需转化为两向量的夹角就解决了，达到了高度的统一，都说：“向量是躯体，运算是灵魂”，可以建系的建系的建系，不容易建系的选基底，在思维上能力要求相对降低，逻辑推理能力要求相对降低。

陈超群：线面平行之类能有几何法的用几何法，对向量法的优势体会不深，对求角问题上就凸显向量法的优势.

董玲飞：类比实质就是化归思想，我认为数学问题的解决就是一个化生为熟的过程，类比也不例外，无非就是建立了要学的与已经学了的知识点的一种联系；2）向量法的优势，我认为三种方法并存，孰优孰劣很难定论，几何直觉好的选几何法，空间想象能力差的选向量法，这些都是可以的，之所以引进向量法我认为是为了知识的完备性，所有数学问题都应该既有代数解法又具有几何上的意义，向量法实现了立体几何问题的实数化，我给学生就分析三种方法的重要性，强调想的多就算的少，想的少就算的多！

胡晓斌：1）类比主要是具体内容上怎样去类比，方法上如何类比；2）向量法不需要添辅助线，思维上简单；3）距离与投影向量紧密联系的.

今日小结：

1）关于本章的空间向量与平面向量的类比问题：空间向量概念虽多，但它是平面向量在空间的推广与拓宽，所涉及内容多数与平面向量相似，是向学生渗透类比的思想方法的好时机。因此在教学中充分利用空间向量与平面向量之间的内在联系，强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法，引导学生自己将平面向量中的概念、运算以及处理问题的方法推广到空间，用表格形式将类比点和结论呈现出来。这样的学习过程有利于学生把相关内容相互沟通，促使他们体会数学探索活动的基本规律，从而提升学生数学学习素养，丰富学习经验，提高学习能力。具体分析如下：

第一，平面向量线性运算与空间向量线性运算运算的类比

向量的定义，线性运算以及数量积运算，基本定理等都可利用类比完成。教学中，可以通过表格的方式，把类比明确的体现出来，由学生自主完成。

教材1.1空间向量及其运算，通过实例引出空间向量的定义，并将平面向量的相关概念、线性运算、数量积运算推广到空间向量的情形。教学中可做如下安排：

第一步揭示类比的理论基础。

课本第3页中提到“任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量”，这句话为我们类比平面向量运算研究空间向量运算提供了理论依据。

依据向量可以自由平移，所以任意两个空间向量都可转化为同一平面内的两个向量，因此空间两个向量的运算与平面向量中的运算基本一致，也让学生初步建立解决立体几何问题时常用的降维的思想。

第二步推广到空间多个向量的线性运算。

在3个以上空间向量相加时，与平面向量不同，这些向量可能不共面，但仍可通过平移逐个相加，转化成两个向量的相加问题。

线性运算中三个向量加法的结合律，可以采用让学生猜想、验证、证明的方式来得到，同时可以类比向量加法的平行四边形法则，得到空间的三个不共面向量加法在平行六面体中的结论。

第三步数形结合，巩固理解。

向量本身具有代数（可以用有序实数对表示）和几何（可以用有向线段表示）双重属性，所以向量是培养学生数形结合思想最典型的内容之一.

教学中可以类比平行四边形与平行六面体，体会平面向量与空间向量的加减法，深化对任意的两个向量均共面的理解。引导学生将空间向量问题，通过平面向量的合成来体会空间向量与和平面向量的关系。

例如，课本第3页最下方的探究，是由平面向量中的平行四边形法则类比到空间中的平行六面体法则，这是由平面向量到空间向量最重要的类比之一。

在学习空间向量的线性运算时，可以借助一个平行六面体，引导学生理解空间中的任意两个向量都是共面的，进而把空间向量“平面化”，转换成平面向量的运算。

第二，数量积运算的类比

对于空间向量的数量积运算，先引导学生回顾平面向量的数量积运算及相关概念，再

引导学生思考由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，那么两个空间向量的夹角及数量积运算是否就可以像平面向量那样定义呢？进而学生就可以很容易接受新知。

注意教材第7页的思考，体会数量积的运算与实数运算的差异。

第三，共线向量与共面向量的类比

课本中把共线向量基本定理和平面向量基本定理合并到第一小节，强化学生的基底意识。

1.两个向量共线与三个向量共面的类比；

对于空间中三个向量共面的判定是从平面向量基本定理出发，借助任意两个空间向量一定共面得到。在这一部分是用小组讨论的形式，给学生抛出问题，层层深入，产生新知。

对于空间向量基本定理，我们知道，平面中的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示（平面向量基本定理），类似地，就会引发学生思考，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量表示？在探究过程中也是把空间问题通过投影来转换成平面问题，进而得证。

2.三点共线与四点共面的类比；

在例题中用平面向量基本定理解决四点共面的问题，在讲解例题前我们可以通过帮助学生回忆证明三点共线问题，让学生类比学习，通过从一维到二维的变化，帮助学生理解如何应用所学定理，也是让学生初步感知借助向量这个工具解决立体几何中点线面的关系的便捷。

3.平面向量基本定理与空间向量基本定理的类比；

对于平面向量，它的基底是不共线的两个非零向量，而对于空间向量，它的基底则是不共面的三个非零向量。在学习空间向量的过程中，必须注意维数增加所带来的影响。

探究一：由二维类比到三维，对于空间任意一个向量，还可以用两个不共线的向量线性表示吗？

探究二：如果将平面向量基本定理推广到空间，你认为应该怎样叙述这个命题？

（有两个思维方法：一是从基本量角度，一是用类比思维的一般方法：抓类比点(类比元素和类比关系)

探究三：类比平面向量基本定理的证明方法，你能证明你的结论成立吗？

4.平行四边形中利用基地解决平面几何问题与平行六面体重利用基地解决立体几何问题的类比：

向量知识的引进，使我们能用代数的观点和方法解决立体几何问题，用计算代替逻辑推理和空间想象，用数的规范性代替形的直观性，具体、可操作性强，从而大大降低了立体几何的求解难度。

《普通高中数学课程标准》对立体几何的定位主要作了三个方面的调整：强调把握图形能力的培养，强调空间想象与几何直观能力的培养，强调逻辑思维能力的培养．英国著名数学家M.阿蒂亚说过：“几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位，而代数则是数学中有序思维占主导地位的部分，这种区分也许用另外一对词更好，即‘洞察’与‘严格’，两者在真正的数学研究中起着本质的作用．”

立体几何传统的方法是“形到形”的综合推理，这对多数学生来说是比较困难的。而向量方法即代数推理的方法，就其体系而言，与算术、代数运算体系基本相似，学生可运用已熟悉的代数方法进行推理来掌握空间图形的性质。具体地说，以往用纯几何方法处理时，技巧性较大随机性较强，而采用向量，可应用一些通法以降低解题难度，操作性较强。

教学中通过适当的例子，引导学生探究几何法与向量法的区别和优劣，对各自的优势以及面临问题时应当如何做出选择进行认识。

第四，投影向量的类比

课本第7页最上面投影向量的概念也是由平面向量推广到空间向量的类比点之一。课本罗列了三种投影：向量到向量，向量到直线，向量到平面，并从向量的角度重新给出了线面角的定义。

转化的思想的应用：解决立体几何问题时，设置基向量，利用空间向量基本定理可以把空间中的任意一个向量转化成基向量的线性表示，从而解决相关几何问题。

第五，解题思路的类比

平面向量可用于解决平面几何的问题，空间向量用于解决立体几何的问题。类比的过程不止是有平面向量上升到空间向量，相应的平面几何的内容也要类比到立体几何。

在例题和习题的选择和讲解过程中，我们可以将平面向量中题目和空间向量的题目放在一起，类比它们的方法和思想。我想只有明明白白的摆出来，学生才能很好地去体会它们之间的类比性。

同时，教学中也要注意与传统的几何证明法做对比。课本第10页的7题和第15页的6题分别应用线面垂直判定定理和数量积为零来证明，有助于学生复习巩固几何内容，又体现了空间向量解决问题的有效性。另外，课本在第10页的8题证明三垂线定理也可以几何定理和向量法加以证明。

注意：教学中容易出现把向量方法等同于坐标法的现象，其根源是没有体会向量法的特点。教学中要注意使用“向量回路”，要强调基本定理的核心地位，“基底”是关键。

第六，数学思想的类比

学生的空间想象能力和数形结合思想是本部分最需要培养的学生能力，都可以在教学过程中进行类比。数形结合，转化等

总之，空间向量与平面向量相比，二维增加到三维，平面推广到空间，但“研究对象在变，研究套路不变，思想方法不变”

2）完整的向量法是：先用几何的眼光观察，再用向量的运算解决，这里首先要搞清楚面对的几何图形、几何问题的基本特征，分析清楚几何图形的基本要素、基本关系，然后再选择恰当的基底，并用基底表示出相应的几何要素和基本关系，然后进行运算！对于向量法，克莱茵指出：“对比把长度、面积、体积考虑为绝对值的普通初等几何学，这样做有极大的好处，初等几何必须依照图形呈现的情况而区分许多情况，而现在用几个简单的一般道理就可以概括”，向量法的本质：首先让几何量带上符号，它依据的一般定理：向量的加减法运算及运算律，向量的数乘运算及运算律，向量的数量积及运算律，向量的基本定理及坐标表示.