七、函数的单调性与凹凸性

7.1函数单调性

函数单调性判定法:

由上可知我们可由导数f'(x)的正负性来判断函数单调性,此外函数单调性改变往往发生在驻点(f'(x)=0)和导数不存在点,因此可以先根据这两类点来划分区间,再讨论单调性。

7.2函数的凸凹性



注:凸凹性是从函数向上方向看的。
函数凸凹性判定方法:(凸凹性判定要看二阶导数)

(从上面图形可以看到凹函数的切线斜率是单调递增的,凸函数是单调递减,结合函数单调性判定可得。)
此外函数凹凸性改变往往发生在拐点(f''(x)=0)和二阶导数不存在点(其实也可以叫拐点),因此可以先根据这两类点来划分区间,再讨论凹凸性。

7.3函数的极值

可导函数极值性质:

函数极值判定方法一:



上述定理描述的是x渐进并经过x0时,如果导数由正到负则x0处取到局部最大值,由负到正x0取到局部最小值。
求解法:


函数极值判定方法二:

求解法:


注:这个不是充要条件,一阶导为零,二阶导也为零,函数同样可能取到极值。

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