如何理解最小二乘法?

最小平方法是十九世纪统计学的主题曲。 从许多方面来看, 它之于统计学就相当于十八世纪的微积分之于数学。

1 日用而不知

来看一个生活中的例子。比如说,有五把尺子:

1

用它们来分别测量一线段的长度,得到的数值分别为(颜色指不同的尺子):

2

之所以出现不同的值可能因为:

不同厂家的尺子的生产精度不同

尺子材质不同,热胀冷缩不一样

测量的时候心情起伏不定

......

总之就是有误差,这种情况下,一般取平均值来作为线段的长度:


3

日常中就是这么使用的。可是作为很事'er的数学爱好者,自然要想下:

这样做有道理吗?

用调和平均数行不行?

用中位数行不行?

用几何平均数行不行?

2 最小二乘法

换一种思路来思考刚才的问题。

首先,把测试得到的值画在笛卡尔坐标系中,分别记作yi:

4

其次,把要猜测的线段长度的真实值用平行于横轴的直线来表示(因为是猜测的,所以用虚线来画),记作y:


5


6


7


7


8

自然,总的误差也是在不断变化的。

法国数学家,阿德里安-馬里·勒讓德提出让总的误差的平方最小的

 就是真值,这是基于如果误差是随机的,应该围绕真值上下波动这就是最小二乘法,即:

1

就是最小二乘法,所谓“二乘”就是平方的意思,台湾直接翻译为最小平方法。

3 推广 拟合

比如温度与冰淇淋的销量:

1

看上去像是某种线性关系:

2

可以假设这种线性关系为:

3

通过最小二乘法的思想:

4
5
6


7

同一组数据,选择不同的f(x) ,通过最小二乘法可以得到不一样的拟合曲线(出处):

8

不同的数据,更可以选择不同的f(x)  ,通过最小二乘法可以得到不一样的拟合曲线:

9

 f(x) 也不能选择任意的函数,还是有一些讲究的,这里就不介绍了。

https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/81127117

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