近世代数理论基础30：多项式的分裂域与正规扩张

多项式的分裂域与正规扩张

分裂域

定义： $f(x)$ 是域F上的n次多项式, $E$ 是 $F$ 的一个扩张,若

1.在 $E$ 上 $f(x)$ 能分解成一次因子的乘积

$f(x)=a(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)$

2. $E=F(a_1,a_2,\cdots,a_n)$

则称E为 $f(x)$ 在F上的一个分裂域,或 $f(x)$ 在F上的分裂扩张

例：

1. $\Q(i)$ 是多项式 $x^2+1$ 在 $\Q$ 上的分裂域

在 $\Q(i)$ 上 $x^2+1$ 分解为 $(x+i)(x-i)$

2.多项式 $x^2+x+1$ 的两个根为 $(-1\pm \sqrt{-3}/2)$ ,故 $x^2+x+1$ 在 $\Q$ 上的分裂域为 $\Q(\sqrt{-3})$

3. $\Q(\sqrt{2},\sqrt{3})$ 是多项式 $x^4-10x^2+1=(x-(\sqrt{2}+\sqrt{3}))(x-(\sqrt{2}-\sqrt{3}))(x-(-\sqrt{2}+\sqrt{3}))(x-(-\sqrt{2}-\sqrt{3}))$ 在 $\Q$ 上的分裂域

注：若 $f(x)$ 为F上的二次多项式, $\alpha$ 为 $f(x)$ 的根,则 $F(\alpha)$ 是f(x)在F上的分裂域

定理：域F上任一多项式f(x)在F上总有分裂域

证明：

$设f(x)的次数为n$

$n=1时,f(x)的分裂域即为F,结论显然成立$

$假设结论对n-1次多项式成立$

$当f(x)是F上的n次多项式时$

$在F上f(x)分解为f(x)=p(x)g(x)$

$其中p(x)为F上的不可约多项式$

$设\alpha_1为p(x)的一个根,记E=F(\alpha_1)$

$设f(x)在E上分解为f(x)=(x-a_1)f_1(x)$
$其中f_1(x)为E上的n-1次多项式$

$由归纳假设(E当作F)$

$f_1(x)在E上有分裂域$

$E(\alpha_2,\alpha_3,\cdots,\alpha_n)=F(\alpha_1)(\alpha_2,\alpha_3,\cdots,\alpha_n)$

$f_1(x)在其上分解为f_1(x)=(x-\alpha_2)(x-\alpha_3)\cdots(x-\alpha_n)$

$\therefore F(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)是f(x)在F上的分裂域$

$f(x)在其上分解为f(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n)\qquad\mathcal{Q.E.D}$

引理：若 $F_1,F_2$ 是两个同构的域,则 $F_1[x],F_2[x]$ 也同构

证明：

$设\varphi:F_1\to F_2是域的同构映射$

$定义F_1[x]到F_2[x]映射$

$\overline{\varphi}:\sum a_ix^i\to \sum \varphi(a_i)x^i$

$易证\overline{\varphi}是F_1[x]到F_2[x]间的一个一一映射$

$若f(x)=\sum a_ix^i和g(x)=\sum b_ix^i为F_1[x]中两个多项式$

$则\overline{\varphi}(f(x)+g(x))=\overline{\varphi}(\sum (a_i+b_i)x^i)$

$=\sum \varphi(a_i+b_i)x^i$

$=\sum\varphi(a_i)x^i+\sum\varphi(b_i)x^i$

$=\overline{\varphi}(f(x))+\overline{\varphi}(g(x))$

$\overline{\varphi}(f(x)g(x))=\overline{\varphi}(\sum\limits_{k}\sum\limits_{i+j=k}(a_ib_j)x^k)$

$=\sum\limits_{k}\sum\limits_{i+j=k}\varphi(a_ib_i)x^k$

$\sum\limits_{k}\sum\limits_{i+j=k}\varphi(a_i)\varphi(b_i)x^k$

$=\overline{\varphi}(f(x))\overline{\varphi}(g(x))$

$\therefore \overline{\varphi}是一个环同构映射\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：在同构下,任一 $F_1$ 上不可约多项式的像仍是 $F_2$ 上同次不可约多项式,若原像是首1的,则像也是首1的

引理：若 $F_1,F_2$ 是两个同构的域, $p(x)$ 是 $F_1[x]$ 中的首1多项式, $\overline{p}(x)$ 是 $p(x)$ 同构下的像,若 $\alpha$ 和 $\overline{\alpha}$ 分别为 $p(x)$ 和 $\overline{p}(x)$ 的根,则存在 $F_1(\alpha)$ 与 $F_2(\alpha)$ 间的一个同构映射,将 $\alpha$ 映为 $\overline{\alpha}$ ,且该同构映射保持原来 $F_1$ 与 $F_2$ 间的同构映射

证明：

$设p(x)是n次首1不可约多项式$

$则\overline{p}(x)也是n次首1不可约多项式$

$设\varphi是F_1到F_2的同构映射$

$则\overline{\varphi}:\sum\limits_{i=0}^{n-1}a_i\alpha^i\to \sum\limits_{i=0}^{n-1}\varphi(a_i)\overline{\alpha}^i是F_1(\alpha)与F_2(\overline{\alpha})间的一个一一映射$

$若f(\alpha)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}a_i\alpha^i,g(\alpha)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}b_i\alpha^i是F_1(\alpha)中两个元$

$则\overline{\varphi}(f(\alpha)+g(\alpha))=\overline{\varphi}(\sum\limits_{i=0}^{n-1}(a_i+b_i)\alpha^i)$

$=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\varphi(a_i+b_i)\overline{\alpha}^i$

$=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\varphi(a_i)\overline{\alpha}^i+\sum\limits_{i=0}^{n-1}\varphi(b_i)\overline{\alpha}^i$

$=\overline{\varphi}(f(\alpha))+\overline{\varphi}(g(\alpha))$

$设f(x)g(x)=q(x)p(x)+r(x),deg(r(x))\le n-1$

$则\varphi(f(x))\varphi(g(x))=\varphi(q(x))p(x)+\varphi(r(x))$

$记\overline{f}(x)=\varphi(f(x)),\overline{g}(x)=\varphi(g(x))$

$\overline{q}(x)=\varphi(q(x)),\overline{r}(x)=\varphi(r(x))$

$以x=\overline{\alpha}代入得\overline{f}(\overline{\alpha})\overline{g}(\overline{\alpha})=\overline{r}(\overline{\alpha})$

$\therefore \overline{\varphi}(f(\alpha)g(\alpha))=\overline{\varphi}(r(\alpha))$

$=\overline{r}(\overline{\alpha})$

$=\overline{f}(\overline{\alpha})\overline{g}(\overline{\alpha})$

$=\overline{\varphi}(f(\alpha))\cdot \overline{\varphi}(g(\alpha))$

$\therefore \overline{\varphi}是F_1(\alpha)与F_2(\overline{\alpha})间的同构映射$

$且保持原来F_1,F_2的同构映射\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：当 $F_1=F_2$ ,并取它们的同构映射为恒等映射,引理即定理：设 $F(\alpha)$ 和 $F(\beta)$ 是域F的两个单扩张,且 $\alpha$ 和 $\beta$ 在 $F$ 上的极小多项式都是 $p(x)$ ,则 $F(\alpha)\cong F(\beta)$

定理：设 $\varphi$ 为域F与 $\overline{F}$ 间的同构映射, $\forall a\in F$ ,有 $\varphi(a)=\overline{a}$ ,设 $f(x)$ 为 $F$ 上的任一多项式,将 $\varphi$ 扩张为 $F[x]$ 与 $\overline{F}[x]$ 间的同构,令 $\overline{f}(x)$ 表示 $f(x)$ 在该同构下的像,若 $E$ 和 $\overline{E}$ 分别为 $f(x)$ 和 $\overline{f}(x)$ 在F和 $\overline{F}$ 上的分裂域,则 $\varphi$ 可扩充为 $E$ 与 $\overline{E}$ 间的同构,设r为这种扩充的个数,则 $1\le r\le [E:F]$ ,进而若 $\overline{f}(x)$ 没有重根,则 $r=[E:F]$

证明：

$若[E:F]=1,则E=F$

$f(x)所有根都在F中$

$f(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n)\in F[x],\alpha_i\in F$

$\therefore \overline{f}(x)=(x-\overline{\alpha}_1)(x-\overline{\alpha}_2)\cdots(x-\overline{\alpha}_n)\in \overline{F}[x]$

$\overline{E}=\overline{F}(\overline{\alpha}_1,\overline{\alpha}_2,\cdots,\overline{\alpha}_n)=\overline{F}$

$\varphi在E上恰有一个扩充$

$假设[E:F]\lt N时定理成立$

$则[E:F]=N\ge 2时$

$设g(x)为f(x)在F上的一个不可约因子$

$deg\;g(x)=m\gt 1$

$\therefore \overline{F}[x]中有\overline{g}(x)|\overline{f}(x)$

$记\alpha为g(x)的一个根,K=F(\alpha)$

$则F\subset K\subset E,[K:F]=m,[E:K]\lt [E:F]=N$

$由归纳假设,将F替换为K时定理成立$

$假设\overline{g}(x)在\overline{E}中有k\le m个根$

$\overline{\alpha}_1,\overline{\alpha}_2,\cdots,\overline{\alpha}_k$

$将\alpha映射为任一\overline{\alpha}_i$

$可定义K到\overline{E}的一个同构嵌入\zeta_i:F(\alpha)\to \overline{F}(\overline{\alpha}_i)$

$且\zeta_i是\varphi的扩充$

$易知E和\overline{E}分别为f(x)和\overline{f}(x)在F(\alpha)和\overline{F}(\overline{\alpha}_i)上的分裂域$

$设每个\zeta_i可扩充为r_i个E与\overline{E}之间的同构$

$由归纳假设,有r_i\le[E:K]$

$则\varphi可扩充为E与\overline{E}间的同构个数$

$r=\sum\limits_{i=1}^kr_i\le k\cdot[E:K]\le m\cdot [E:K]=[E:F]$

$当\overline{f}(x)没有重根时$

$有k=m,r_i=[E:K](1\le i\le m)$

$\therefore r=[E:F]\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：取 $F=\overline{F}$ , $\varphi$ 为F的恒等映射,可得推论

推论：设F为域, $f(x)\in F[x]$ , $E$ 和 $\overline{E}$ 为 $f(x)$ 在F上的两个分裂域,则共有m个 $F$ -同构 $E\to \overline{E}$ ,其中 $1\le m\le [E:F]$ ,又若 $f(x)$ 无重根,则 $m=[E:F]$ ,特别地,f(x)在F上的分裂域在同构意义下唯一

多项式分裂域的性质

定理：若E是 $f(x)$ 在F上的分裂域, $\beta\in E$ ,则 $\beta$ 在F上的极小多项式 $p(x)$ 在E上能分解成一次因子的乘积

证明：

$设E=F(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)是f(x)在F上的分裂域$

$若\beta在F上的极小多项式p(x)在E上不能分解成一次因子的乘积$

$则p(x)在E上分解为p(x)=(x-\beta)p_1(x)g_1(x)$

$其中p_1(x)是E上不可约多项式,且次数\gt 1$

$设\beta’是p_1(x)的根$

$作单扩张E(\beta’)=F(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,\beta’)$

$\because \beta和\beta’都是p(x)的根$

$\therefore f(x)在F(\beta)上的分裂域与它在F(\beta’)上的分裂域同构$

$f(x)在F(\beta)上的分裂域为$

$F(\beta)(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)=F(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$

$f(x)在F(\beta’)上的分裂域为F(\beta’)(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$

$\therefore [F(\beta’)(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n):E]\cdot[F(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n):F]$

$=m[F(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n):F]$

$与m\gt 1矛盾$

$\therefore p(x)在E上能分解成一次因子的乘积\qquad\mathcal{Q.E.D}$

正规扩张

定义：设E是域F的扩张,若F上任一不可约多项式在E中有一个根,它在E上就能分解成一次因子的乘积,则E称为F的正规扩张

注：一个多项式的分裂扩张一定是正规扩张,反之,任一有限正规扩张也一定是某个多项式的分裂扩张

例：

1.求多项式 $x^3-2$ 在域 $\Q$ 上的分裂域

解：

$x^3-2的三个根为\sqrt[3]{2},\omega\sqrt[3]{2},\omega^2\sqrt[3]{2}$

$其中\omega为3次单位根{-1+\sqrt{-3}\over 2}$

$\therefore \Q(\sqrt[3]{2},\omega)是x^3-2在\Q上的分裂域$

2.设p为素数, $\zeta_p=e^{2\pi i/p}$ 是p次本原单位根,它在 $\Q$ 上的极小多项式为 $x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1$ ,在 $\Q$ 上不可约

故 $x^p-1$ 在 $\Q$ 上的分裂域为 $\Q(\zeta_p,\zeta_p^2,\cdots,\zeta_p^{p-1})=\Q(\zeta_p)$ ,且 $[\Q(\zeta_p):\Q]=p-1$

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