2020-08-07范畴与函子

“代数拓扑的基本观点:几+66代数照相。这种照相是用范畴与函子的语言来表达的。”——姜伯驹

范畴和函子(尤其是函子)主要是由代数拓扑引出的概念，主要目的是用一种更抽象统一的语言来描述关于拓扑空间的不变量，也就是如果能用函子把范畴（例如拓扑空间范畴和群范畴)联系起来，那么一个范畴中的对象（拓扑空间）在函子作用下所对应的另一个范畴中的对象（基本群）就是这个对象（拓扑空间）的不变量。（因为我们拓扑学中知道，两个拓扑空间同胚，那么它们的基本群同构）

注：初学者可先看第三部分，再看一、二。

一、范畴

什么是范畴？简单来说，一个范畴 $C$ 由两个集合组成:（1）一些对象构成的一个类 $ob(C)$ ；（2） $ob（C）$ 中附加上每个对象之间的所有态射 $Hom(A,B)$ 构成的族。并且满足：态射间的复合律（ $f为X到Y的态射，g为Y到Z的态射，那么g\circ f为X到Z的态射，且运算“\circ ”是结合的）$ ；以及存在每个对象 $X到自己的恒同映射1_{X} （f\circ 1_{X}=f,1_{X} \circ g=g ）$ 。

举几个例子：1、所有群以及群之间的同态映射构成一个范畴（其中，每个对象是群，两个对象之间的所有态射就是这两个的所有同态映射），称为群范畴；

2、所有线性空间以及线性空间的线性映射构成一个范畴（其中，每个对象是线性空间，两个对象间的所有态射就是这两个线性空间的所有线性映射），称为线性空间范畴；

3、所有拓扑空间以及拓扑空间的连续映射构成一个拓扑空间范畴；

4、所有微分流形以及微分流形之间的光滑映射构成一个微分流形范畴。

同构：如何描述范畴中两个对象是"一样"的？那么引入同构的概率；范畴 $C中的两个对象X、Y间如果存在一个态射$ $f\in Hom(X，Y)以及另一个态射g\in Hom(Y,X),满足g\circ f=1_{X} (恒同态射)且f\circ g=1_{Y} (恒同态射）$ ，则称这两个对象同构，称 $f、g为同构态射$ 。

积与余积：如何由一个范畴中几个对象生成一个更大的对象呢？我们引入积与余积的概念：可以简单理解成，范畴中任意多个空间的积就是通常所说的线性空间中直积（笛卡尔积）的推广，记为 $\prod_{i\in I}X_{i}$ ；而任意多个空间的余积是线性空间中直和的推广，记为 $\coprod_{i\in I }X_{i}$ 。（注意：在一个范畴中，积与余积不一定存在!但若存在，则积（余积）在同构意义下唯一，此时称该范畴为积范畴（余积范畴)）

例如：1、集合范畴里的积就是通常意义下的笛卡尔积，余积是不交并。

2、群范畴和环范畴里的积就是直积，余积是自由积。

3、模范畴里的积是笛卡尔积，余积是有限多对象做笛卡尔积。

4、线性空间范畴里的积是笛卡尔积（直积），余积是有限多对象做笛卡尔积（直和）。

5、拓扑空间范畴里的积是笛卡尔积，余积是拓扑和。

二、函子

引入：两个——空间存在同态，那么它们对应的两个——空间存在同态。

两个拓扑空间存在连续映射（同胚），那么它们对应的基本群同态（同构）。

两个拓扑空间存在连续映射（同胚），那么它们对应的奇异同调群同态（同构）。

两个微分流形存在光滑映射（微分同胚），那么它们对应的deRham上同调群同态（同构）。

两个带基点的微分流形存在光滑映射（微分同胚），那么它们对应的余切空间同态（同构)。

两个李群同态(同构），那么它们对应的李代数同态（同构）。

我们把这些关系抽象成一个更一般的形式，即函子。

函子的定义:函子是两个范畴之间的一种映射（关系）。它把对象映射到对象，态射映射到态射。函子分为协变函子与反变函子，具体定义如下：

给定范畴 $C和D，如果它们之间存在一个映射F：C\rightarrow D，满足:$

1、对象到对象： $F把C中对象X映射到F(X)\in D$ ；

2、态射到态射： $F把C中态射f：X\rightarrow Y映射到D中态射F(f):F(X)\rightarrow F(Y),且满足：$

（1)(恒等律)恒等态射映到恒等态射： $F(id_{X} )=id_{F(X)}$ ；

(2）(复合律） $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$ .。则称映射 $F为范畴C到范畴D的一个协变函子。$

至于反变函子，只是把定义第2条中 $F(f):F(X)\rightarrow F(Y)改为F(f):F(Y)\rightarrow F(X),其他类似。$

函子的性质：1、函子把同构态射到同构态射；

2、 $C和D中存在一个函子F，D和\varepsilon 存在一个函子G，则G\circ F是C到\varepsilon 的一个函子。$

这样，我们再重新看一下引入的例子，把前者和后者分别当成一个范畴，那么它们之间存在一个函子。

例如，拓扑空间范畴 $C到Abel群范畴D由一个函子F，把ob(C)中两个拓扑空间X、Y（对象）分别映射到它们的奇异同调群H_{q} (X)$ $=F(X)和H_{q} (Y)=F(Y)(ob(C)中两个对象),且把X到Y的任一连续映射f（态射）映射到f_{\ast } 为$ $H_{q} (X)到H_{q} (Y)的同态f_{\ast } =F(f)(态射)。$

三、代数拓扑

什么是拓扑空间以及为什么研究拓扑空间？

可以说拓扑空间是几何学（广义所指，包含拓扑学）的基础。现代几何学研究的东西都是在某个特定的拓扑空间上展开的，或者说：几何学的基本对象就是拓扑空间。

比如流形，其就是局部同胚于欧式空间的 $T_{2} 拓扑空间$ (又称Hausdorff空间）；再比如前两篇我们谈到的微分流形，其实质就是赋有微分结构的流形；再比如微分几何，其研究的也是赋有某种特定结构（比如黎曼度量，联络，张量场等等）的微分流形。

拓扑空间的定义：设X是一个非空集合，它的一个子集族 $\tau$ 满足：（1) $\oslash ，X在\tau 中；（2）对任意并封闭；（3）对有限交封闭。则称集合X为一个赋有拓扑结构\tau 的拓扑空间，记为（X，\tau ）。$

什么又是代数拓扑？

拓扑学（尤其是代数拓扑）是几何学的一个分支，其最终目的是为了找一些拓扑不变量对拓扑空间进行分类。因为点集拓扑中的不变量，诸如连通性、紧致性等等这些不变量实在不够用，所以我们想通过找一些和拓扑空间有关的代数空间（由代数结构的拓扑不变量，即在拓扑空间同胚下同构),通过认识代数空间的结构来认识原来拓扑空间的性质，并在此基础上将拓扑空间进行分类。

用范畴和函子的语言来描述就是，找到一个代数空间范畴，使得拓扑空间范畴到这个代数空间范畴之间有一个函子（因为函子把拓扑空间的连续映到代数空间的同态，且把拓扑空间的同胚映到代数空间的同构）。

而我们更大的梦想是找到一个代数空间范畴，使得这个范畴到拓扑空间范畴之间有一个函子！但是找了几十年还是没有找到这样的范畴（但在一些特定的拓扑空间中，我们确实做到了）