前言

1. 在某一次Cocos的线下沙龙中，有大佬推荐了 Games 101 的课程，去观摩了，发现十分收益，因此就有了这次的文章，或者更多是个人笔记
2. 以下内容主要来自 Games 101 第二节课 https://www.bilibili.com/video/BV1X7411F744?p=2
3. 个人在这个基础上，在结合 Cocos Creator 进行的一些个人理解及理论实例使用

一、向量归一化

向量 的归一化表示得到一个方向和向量 相同的向量，但是向量的模（向量的长度）为 1。

归一化后的向量，也被叫作单位向量。

二、向量点乘

向量点乘公式：

向量点乘满足一般运算规则：

• 交换律：
• 结合律：
• 分配律：

直角坐标系下，在二维空间下，计算点乘：

直角坐标系下，在三维空间下，计算点乘：

根据点乘公式，我们知道，向量点乘是一个数，那么这个数在图形学上的几何意义是什么呢？

2.1 计算两个向量之间的夹角

根据向量点乘公式，我们可以推导出：

如果将向量 和向量 进行归一化，那么 ，可以在推导出

根据 ，我们就可以知道两个向量之间的夹角（角度）。

整理一下，在实际的计算中，过程如下：

1. 将两个向量归一化
2. 计算归一化后的向量的点乘结果

GLSL 中可以表示为：

vec3 a;
vec3 b;
float c = dot(normalize(a), normalize(b));

2.2 判断两个向量前后（方向）

利用点乘我们可以知道两个方向之间的夹角：

根据余弦函数的曲线图，我们可以知道

• 当 时，
• 当 时，
• 当 时，
• 当 时，
• 当 时，

也就是说

• ，向量 和向量 方向 完全一致
• ，向量 和向量 方向 基本一致
• ，向量 和向量 方向 垂直
• ，向量 和向量 方向 基本相反
• ，向量 和向量 方向 完全相反

根据这个数值，我们可以得出，向量 和向量 的前后关系：

image.png

利用这个几何意义，可以实现：

• 3D内发光：见论坛大佬搬砖小菜鸟的shader例子中的3D内发光实现，以下为大佬的演示图：
  • 640.gif

2.3 计算向量投影

计算向量 在向量 上的投影向量：

image.png

得到投影后，还可以在进一步分解向量 ：

image.png

投影的一个典型应用在对OBB包围盒进行碰撞检测的时候，经常会使用 分离轴定理SAT（Separating Axis Theorem） 进行检测

分离轴定理：通过判断任意两个矩形在任意角度下的投影是否均存在重叠，来判断是否发生碰撞。若在某一角度光源下，两物体的投影存在间隙，则为不碰撞，否则为发生碰撞。

计算投影就可以用到向量点乘了

详细可以参考 碰撞检测的向量实现

三、向量叉乘

向量叉乘公式：

GLSL 中可以表示为：

vec3 a;
vec3 b;
vec3 c = cross(a, b);

ps:叉乘的结果是一个向量，点乘是得到一个数

image.png

3.1 计算法线向量

向量 和向量 的叉乘得到的是一个同时垂直于向量 和向量 的向量

只要向量 和向量 的夹角不为 和 ，那么向量 和向量 可以组成一个平面，而向量 和向量 的叉乘就得到一个垂直于这个平面的向量，这个向量也叫法向量。

垂直于一个平面的向量，方向有两个，并且这两个方向完全相反。为了准确得到方向，我们可以采用右手螺旋定则。

• 当为 时：
  • 伸出左手，摆出点赞姿势，左手握住向量，左手拇指指向向量的方向，此时其余四个手指握拳姿势，按着这4个手指的指向姿势，绕着拇指旋转，得到的新向量即为 的结果向量
• 当为 时：
  • 此时则为左手握住向量 旋转

操作下来可以发现，两次叉乘得到的新向量，方向完全相反，但是大小（长度）是一致的，于是有：

3.2 判断向量的左右

image.png

假设向量 向量 都在 xy 的二维平面上，并假设 。那么

因为二维平面上，向量 和向量 的 肯定为 ，所以

根据右手螺旋定则， 表示，法向量 是绕向量 所在平面旋转得到的，这里可以定义

• 的 z 值为正，则表示向量 在向量 的 右侧
• 的 z 值为负，则表示向量 在向量 的 左侧

3.2.1 判断点在多边形内部还是外部

image.png

以上图为例，在刚才左右的基础上，如果

• 向量 在向量 的左边
• 向量 在向量 的左边
• 向量 在向量 的左边

那么，点 在三角线 ABC 内。

这样子通过叉乘就可以知道点是否在三角形内/外，这也是光栅化的基础，判断点是否在三角形内。

更进一步，我们还可以通过向量叉乘来判断点是否在多边形内。

比如：

• Cocos Creator 提供的 cc.Intersection.pointInPolygon 方法，其内部原理是通过向量叉乘来判断点是否在多边形内

image.png

• SVG 的填充属性 fill-rule： evenodd（奇偶填充） 和 nonzero（非零填充） ，其内部实现 我猜 应该也是可以通过向量叉乘来解决

3.2.2 画多边形

既然知道了向量叉乘可以判断点是否在多边形内外，那么我们也可以根据这个几何意义去画任意多边形。以六边形为例：

image.png

标注及代码如下：

image.png

/**
  * 画六边形
  * @param center 中心点
  * @param side   六边形边长
  * @param color  六边形颜色
  */
vec4 drawHex(vec2 center, float side, vec4 color) {
  // 将uv往六边形中心点偏移，实现偏移后的坐标系原点在纹理中心，x 向右 y 向下
  // 并转换为我们需要判断的点
  vec2 uv = v_uv0.xy - center;
  vec3 p = vec3(uv, 0.0);

  // 计算六边形的六个顶点
  float c = cos(radians(60.0));
  float s = sin(radians(60.0));
  vec3 p0 = vec3(side, 0.0, 0.0);
  vec3 p1 = vec3(side * c, -side * s, 0.0);
  vec3 p2 = vec3(-side * c, -side * s, 0.0);
  vec3 p3 = vec3(-side, 0.0, 0.0);
  vec3 p4 = vec3(-side * c, side * s, 0.0);
  vec3 p5 = vec3(side * c, side * s, 0.0);

  // 计算当前点是否在六边形内（通过向量叉乘）
  float r0 = step(0.0, cross(p-p0, p1-p0).z);
  float r1 = step(0.0, cross(p-p1, p2-p1).z);
  float r2 = step(0.0, cross(p-p2, p3-p2).z);
  float r3 = step(0.0, cross(p-p3, p4-p3).z);
  float r4 = step(0.0, cross(p-p4, p5-p4).z);
  float r5 = step(0.0, cross(p-p5, p0-p5).z);

  // 如果在内部，inside = 1.0，否则 inside = 0.0
  float inside = r0 * r1 * r2 * r3 * r4 * r5;
  return vec4(color.rgb, color.a * inside);
}

void main() {
 // ... 其他代码
 gl_FragColor = drawHex(vec2(0.5, 0.5), 0.5, o);
}

参考资料

• https://www.bilibili.com/video/BV1X7411F744?p=2
• https://segmentfault.com/a/1190000020530300