1.
是有限集，
定义为由所有映射
.证明：
是一个
的函子的object function。evaluation
为%3Dh(s))
，它是natural transformation.
函子
在所有箭头上的映射定义为
。
令%5Ctimes%20Id)
。
是不变函子。
%3De_Y(f%5Ccirc%20h%2Cs)%3Df%5Ccirc%20h(s))
%3DT_2f(h(s))%3Df%5Ccirc%20h(s))
所以
.
5.自然变换
定义了一个映射（同样记为
），将
映为箭头
，满足%3D%5Ctau%20g%5Ccirc%20Sf)
对任意可复合的
成立。反过来，每个满足条件的映射，由唯一的满足)
的自然变换得到。（自然变换的纯箭头描述）
前一半直接画图验证。后一半：显然对应为映射的自然变换需满足，下面验证它是自然变换。在中取
，有
。同理交换得到
，故
，是自然变换。
6.所有F上的有限维向量空间构成的范畴，与
等价。
在每个向量空间上取一组基，则
可用基表示为矩阵
。定义函子%3D%20%5Cmathrm%7Bdim%7DV%2CS(f)%3Dm_f)
。对每个正整数
，取一个维向量空间
，每个矩阵
在之前取的那组基下对应一个线性映射
。定义函子%3DV_n%2CT(A)%3Df_A)
。易知
，)
定义为
到
在基的表示下为单位矩阵的线性映射，易知是从
到
的自然变换。
