期望
17世纪早期的伽利略和公爵之间的往来书信里已经就“独立性”达成共识。1654年往来于帕斯卡和费马之间的一连串书信则研究了期望值这一概念。帕斯卡和费马就骰子问题展开了两场讨论。
骰子问题
一名玩家需要在8次抛掷骰子的赌局中掷出一个6点。此时，投注金额已经确定，这名玩家已经抛掷了3次，但没有一次是6点。如果从赌注s中拿出一定比例的钱给这名玩家，让他放弃第4次的抛掷机会（仅放弃这一次），那么给他多少钱才算公平？
期望值围绕着概率论中的公平性，如果投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上为，反面朝上为
，那么期望值应当为
。此时该赌博是公平的。
期望就是概率的加权平均，其一般形式：
举个通俗的例子来说明期望的作用。如果参加骰子游戏，掷出1点获1元，掷出n点获n元。那么那么在可能得到的
元的赌注结果里，玩家就会认为得到3.5元的机会是最大的。并且当游戏进行的轮数足够多时，应当接近3.5。
看下图，当随机生成300个整数时，左边列是累计次数，右边是平均值。
一开始实验次数不够多时，波动比较明显。但当实验次数逐渐增多时，平均值稳定在3.5。这就是大数定律：随着实验次数的增多，结果的平均值越来越接近期望值。
乍一看期望似乎没有什么作用。但是如果玩家参与游戏的成本为呢。预期收益3.5大于成本3，就可以认为是值得冒险的游戏。
从理智上是这样说的，但是每一个人参加游戏的次数的意愿都是不同的，而且也许偶然性就会发生在自身身上。如果玩了10次每一次都是1呢。这就是概率带来的个体的不确定之处。有时很美妙，有时很糟糕。
永远不要忘记这个游戏里还有另一方。对于这个游戏的发起方来说，300次游戏，他预期自己的成本为，成本的范围为
。他的收益是确定的
。所以不会有傻蛋愿意和别人主动玩这个游戏的。
骰子问题的解答
费马针对这个问题，给出的答案就是期望的概念。如果假设玩家不放弃第四次机会，那么他的期望值如下：
表示第四次掷出6点，赢得的赌注。
表示第4次输，在余下的4次机会中至少赢一次能赢得的赌注。
费马建议玩家拿走的赌注，然后放弃第四次投掷机会。假设玩家放弃第四次机会，那么它的期望值为：
表示放弃投掷机会得到的钱，
表示在剩下4次机会中获胜的概率
和剩余赌注
的乘积。
以下是他们之间的往来讨论：
费马在回信中指出，帕斯卡犯了一个错误：
假设我需要用一枚骰子在8轮投掷中得到某个点数才算赢。下注后，如果我们一致同意我放弃第一轮投掷机会，那么根据我的理论，作为对我放弃第一轮投掷机会的补偿，我拿走全部赌注的1/6才算公平合理。
之后，如果我们一致同意我放弃第二轮投掷机会，那么我拿走剩余赌注的1/6，也就是全部赌注的5/36，才算公平合理。
之后，如果我们一致同意我放弃第三轮投掷机会，那么作为对我的补偿，我拿走剩余赌注的1/6，也就是全部赌注的25/216，才算公平合理。
之后，如果我们一致同意我放弃第4轮投掷机会，那么我拿走剩余赌注的1/6，也就是全部赌注的125/1 296，才算公平合理。
帕斯卡的错误在于
你认为，如果玩家完成了前面三轮的投掷，这就是第4轮投掷机会的价值。我认同你的观点。
下面是你在信中举出的最后一个例子，我完整地引述如下条件：我需要在8轮投掷中得到6点。我已经投掷了三次，但都没有成功。这时候，我的对手建议我放弃第4轮投掷机会，并且为公平起见，我可以拿走全部赌注的125/1 296。你认为这样做是合理的。
但是，根据我的理论，这是不公平的。因为在这种情况下，手持骰子的玩家在前三轮投掷中一无所获，总赌注分文未少。如果他同意放弃第4轮投掷机会，作为补偿，他应该拿走全部赌注的1/6。如果他第4次投掷仍没有成功，那么在双方一致同意他放弃第5轮投掷机会的情况下，他依然应该分得全部赌注的1/6。既然赌注总额一直没有变化，那么无论从理论上看，还是根据常识，每次投掷机会都应该具有相同的价值。
以下是作者的点评：
很明显，这里的核心问题是期望值。
如果放弃某一轮的投掷机会并拿走一部分赌注，不会改变赌局的期望值，这种做法就是公平的。
费马清楚地看到，任意一轮赌局的分析结果都是一样的。假设某轮投掷结束后，还剩下n+1轮投掷机会，此时的赌注价值为1。
那么，选择参与赌局并在此轮获胜的期望值是1/6，而此轮失败但最终仍有可能获胜的期望值是1/6。
拿走1/6的赌注后，用剩余赌注继续赌局的期望值是：到手的现金（数额为1/6），再加上最终获胜的概率与剩余赌注（数额为5/6）的乘积。
费马的分析立刻得到了帕斯卡的认同。
现实问题
帕斯卡和费马的讨论问题来自于帕斯卡的朋友。梅累骑士向帕斯卡请教一个分赌注问题。
梅累和赌友双方各自出50枚金币，赌注总额100枚金币。双方赌技相同，约定谁先赢3局，则获得全部赌注。赌博进行了一段时间后，梅累赢了2局，对方赢了1局。此时梅累被国王叫去接见外宾，赌博终止。此时该如何分配赌金呢？
首先，如果赌局进行到底，进行次数范围为。某人直接赢下3局胜利。一人赢1局，另一人赢3局。一人赢2局，另一人赢3局。
现在游戏进行了3轮，最多2轮就能分出胜负。结果只有四种：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。而现在甲就是梅累赢了2局，他最终获胜的几率为，应当获得75枚金币。
