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第一章质点运动学

1-1 做变速运动的物体，在前一半路程内的平均速率是 $3m/s$ ，在后一半路程内的平均速率是 $5m/s$ ，求全程内的平均速率。

1-2 物体由静止开始做匀加速直线运动，速度是 $v$ 时，位移 $\Delta x = l$ ，速度为 $3v$ 时，位移是多少?

1-3 物体在一直线上运动，从某一时刻开始，在连续相等的时间间隔内，通过的位移分别是 $3m$ 、 $9m$ 、 $15m$ 、 $21m$ 、 $27m$ ，在这段时间内物体的运动是不是匀加速的?是不是初速度为零的匀加速运动? 说明理由。

14 汽车做匀加速直线运动，路旁每根电线杆之间的间隔是 $50m$ ，汽车通过第一个间隔时间用了 $5s$ ，通过第二个间隔时用了 $4s$ ，求汽车的加速度。

1-5 物体在一直线上运动，从某一时刻起，在连续相邻的 $2s$ 内，通过的位移分别是 $24m$ 、 $20m$ 、 $16m$ 、 $12m$ 、 $8m$ 、 $4m \cdots$ 直至停下来。问物体在第 $7$ 个 $2s$ 内通过的位移是多少?

1-6 物体做匀加速直线运动， $30s$ 内前进 $255m$ ， $30s$ 末的速度是 $16m/s$ ，求物体的加速度和初速度。

1-7 从塔顶自由落下一石子，已知石子在最后 $1s$ 内下落 $45m$ ，求塔高和石子落地时的速度（ $g=10m/s^2$ ）。（不计空气阻力）

1-8 自由下落的小球先后经过 A 点和 B 点时的速度分别为 $20m/s$ 和 $25m/s$ ，过 B 点后又下落 $0.5s$ 落地。求 A、B 两点间的距离和小球的原高度。（ $g=10m/s^2$ ）

1-9 当气球上升到离地面 $150m$ 高时，从气球上掉下一个物体，经过 $6s$ 后落地，求物体落地时的速度。

1-10 飞机着陆后以 $6m/s^2$ 的加速度做匀减速运动，若其着陆速度为 $60m/s$ ，求它着陆后 $12s$ 时飞机所在的位置到着陆点的距离。

1-11 某车刹车时速度为 $5m/s$ ，刹车后以 $0.4m/s^2$ 的加速度做匀变速运动，要通过 $30m$ 的位移需要多长时间?

1-12 一列火车，由车站出发做变速直线运动，设 $t$ 时刻的位置坐标为 $x = 3t^2$ ，求 $t$ 时刻后的 $Δt$ 时间内的平均速度及 $t$ 时刻的瞬时速度的大小。

1-13 有 $A$ 、 $B$ 两个物体同时从同地同向运动，它们的位置和时间的关系分别为 $x_{_A} = 4t^2 + 2t$ 和 $x_{_B} = 8t - 0.8 t^2$ ，试问∶

（1）它们做什么运动？写出速度和时间的关系式;

（2）什么时候它们的速度相等？在什么地方相遇？

1-14 物体 $A$ 做匀速直线运动，速度是 $1m/s$ 、在 $A$ 出发后 $5s$ 物体 $B$ 从同一地点由静止出发做匀加速直线运动，加速度是 $0.4m/s^2$ ，运动方向一致。试问∶

（1）在 $B$ 出发后几秒才能追上 $A$ ?

（2）相遇前它们之间的最大距离是多少?

（3）相遇处距出发点多远?

1-15 火车 $A$ 以速率 $v_1$ 向前行驶，司机突然发现在前方同一轨道上距离为 $l$ 处有另一列车 $B$ 正沿相同方向以较小的速率 $v_2 (v_2 \gt v_1)$ 做匀速运动，于是他立即使自己的车做匀减速运动，加速度大小为 $a$ 。问要使两车不发生碰撞， $a$ 应满足什么条件?

1-16 一火车沿直线轨道从静止出发由 $A$ 驶向 $B$ ，并停止在 $B$ 地。 $A$ 、 $B$ 两地相距 $l$ 。火车做加速运动时、其加速度最大值为 $a_1$ ，做减速运动时，其加速度的绝对值最大为 $a_2$ 。试说明该火车应如何行驶才能使它由 $A$ 到 $B$ 所需的时间最短，最短时间是多少?

1-17从某一高处向水平方向射出一个物体，它落地时的速度大小是 $25m/s$ ，方向与水平面成 $53°$ 角，求物体的原高度和水平射程。

1-18 向斜上方抛出的物体， $2s$ 末经过最高点时速度是 $15m/s$ ，求物体初速度的大小和物体相对于出发点上升的最大高度。

1-19 飞机在 $720m$ 高处水平飞行，要投弹轰击地面上正前方以 $50 m/s$ 的速度逃跑的目标，飞行员根据数据作出判断，在离目标水平距离为 $3000 m$ 处投弹，果然命中。求当时飞机飞行的速度。

1-20 试证明在空气阻力可以不计的情况下，在平地上以一定速率斜向上抛射出去的物体，抛射角（抛射方向与水平方向的夹角）等于 $45°$ 时，物体的水平射程最大; 抛射角互为余角时，物体的水平射程相等。

1-21 一飞机在离地高度为 $h$ 处以速度 $v_1$ 做水平飞行，当飞机恰在高射炮的正上方时，高射炮以初速度 $v_0$ ，与水平方向夹角为 $α$ 射出一颗炮弹。若不计空气阻力，欲使炮弹击中飞机，试证明∶ $v^2_0 \geqslant v^2_1 + 2gh$ 。

1-22 从山脚下向坡度为 $30°$ 的山坡上投射一个小球，小球的初速度 $v_0 = 10m/s$ 。

（1）当投射角（初速度与水平面夹角）为 $45°$ 时，小球在山坡上的射程是多大?

（2）当投射角是多大时，小球在山坡上的射程最大，最大射程是多少?

1-23 从同一点同时以相同的速率 $v$ 将许多小球向各个不同的方向抛出， $t$ 秒后，若这些小球都没有碰到其他物体，这些小球将处于一个什么样的曲面上?

1-24 下雨时，雨点竖直下落到地面，其速度为 $10m/s$ 。若在地面上放一横截面积为 $80cm^2$ 、高为 $10cm$ 的圆柱形量筒，则经 $30\,min$ ，筒内接得雨水水面高度为 $1cm$ 。现因水平风的影响，雨点下落时偏斜 $30°$ ，若用同样的量简接得雨水量与无风时相同，则所需时间是多少?