如何通俗地解释欧拉公式（e^πi+1=0）？

欧拉公式，被誉为上帝公式， e、 i 、 pi 、乘法单位元1、加法单位元0，这五个重要的数学元素全部被包含在内，在数学爱好者眼里，仿佛一行诗道尽了数学的美好。

欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域，建立和三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”。形式简单，结果惊人，欧拉本人都把这个公式刻在皇家科学院的大门上，看来必须好好推敲一番。

1 复数

在进入欧拉公式之前，我们先看一些重要的复数概念。

1.1 $i$ 的由来

$i=\sqrt{-1}$ ，这个就是 $i$ 的定义。虚数的出现，把实数数系进一步扩张，扩张到了复平面。实数轴已经被自然数、整数、有理数、无理数塞满了，虚数只好向二维要空间了。

可是，这是最不能让人接受的一次数系扩张，听它的名字就感觉它是“虚”的：

从自然数扩张到整数：增加的负数可以对应“欠债、减少”

从整数扩张到有理数：增加的分数可以对应“分割、部分”

从有理数扩张到实数：增加的无理数可以对应“单位正方形的对角线的长度 $\sqrt{2}$ ”

从实数扩张到复数：增加的虚数对应什么？

虚数似乎只是让开方运算在整个复数域封闭了（即复数开方运算之后得到的仍然是复数）。

看起来我们没有必要去理会 $\sqrt{1}$ 到底等于多少，我们规定 $\sqrt{1}$ 没有意义就可以了嘛，就好像 $\frac{1}{0}$ 一样。

我们来看一下，一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a\neq 0)$ 的万能公式：其根可以表示为： $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ ，其判别式 $\Delta =b^2-4ac$

$\Delta >0$ :有两个不等的实数根

$\Delta =0$ : 有两个相等的实数根

$\Delta <0$ : 有两个不同的复数根，其实规定为无意义就好了，干嘛理会这种情况？

再看一下，一元三次方程 $ax^3+bx^2+cx+d=0(a\neq 0)$ 一元三次方程的解太复杂了，这里写不下，大家可以参考维基百科，但愿大家能够打开。

讨论一下 $b=0$ ，此时一元三次方程可以化为 $x^3+px+q=0$ ，其根可表示为：

$\begin{cases} x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}\\ x_2=\omega \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\omega ^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}\\ x_3=\omega ^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\omega \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}} \end{cases}$

其中： $\omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$

判别式为： $\Delta =(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3$ ，注意观察解的形式， $\Delta$ 是被包含在根式里面的。

$\Delta>0$ ：有一个实数根和两个复数根

$\Delta=0$ : 有三个实数根，当 $p=q=0$ 时根为0，当 $p,q\neq 0$ ，三个根里面有两个相等

$\Delta<0$ : 有三个不等的实根！懵了，要通过复数才能求得实根？

要想求解三次方程的根，就绕不开复数了吗？后来虽然发现可以在判别式为负的时候通过三角函数计算得到实根，但是在当时并不知道，所以开始思考复数到底是什么？

我们认为虚数可有可无，虚数却实力刷了存在感。虚数确实没有现实的对应物，只在形式上被定义，但又必不可少。数学界慢慢接受了复数的存在，并且成为重要的分支。

1.2 复平面上的单位圆

在复平面上画一个单位圆，单位圆上的点可以用三角函数来表示：

可以动手试试，访问马同学高等数学

Geogebra动画

1.3 复平面上乘法的几何意义

这里也可以感受下互动操作如何通俗解释欧拉公式

2 欧拉公式

对于 $\theta \in \mathbb {R}$ ，有 $e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta$

——维基百科

欧拉公式在形式上很简单，是怎么发现的呢？

2.1 欧拉公式与泰勒公式

关于泰勒公式可以参看这篇详尽的科普文章：

如何通俗地解释泰勒公式？

欧拉最早是通过泰勒公式观察出欧拉公式的：

$e^ x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots$

将 $x=i\theta$ 代入 $e$ 可得： $\begin{align} e^{i\theta } & = 1 + i\theta + \frac{(i\theta )^2}{2!} + \frac{(i\theta )^3}{3!} + \frac{(i\theta )^4}{4!} + \frac{(i\theta )^5}{5!} + \frac{(i\theta )^6}{6!} + \frac{(i\theta )^7}{7!} + \frac{(i\theta )^8}{8!} + \cdots \\ & = 1 + i\theta - \frac{\theta ^2}{2!} - \frac{i\theta ^3}{3!} + \frac{\theta ^4}{4!} + \frac{i\theta ^5}{5!} - \frac{\theta ^6}{6!} - \frac{i\theta ^7}{7!} + \frac{\theta ^8}{8!} + \cdots \\ & = \left( 1 - \frac{\theta ^2}{2!} + \frac{\theta ^4}{4!} - \frac{\theta ^6}{6!} + \frac{\theta ^8}{8!} - \cdots \right) + i\left(\theta -\frac{\theta ^3}{3!} + \frac{\theta ^5}{5!} - \frac{\theta ^7}{7!} + \cdots \right) \\ & = \cos \theta + i\sin \theta \end{align}$

那欧拉公式怎么可以有一个直观的理解呢？

2.2 对同一个点不同的描述方式

我们可以把 $e^{i\theta }$ 看作通过单位圆的圆周运动来描述单位圆上的点， $cos\theta +isin\theta$ 通过复平面的坐标来描述单位圆上的点，是同一个点不同的描述方式，所以有 $e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta$ 。

2.3 为什么 $e^{i\theta }$ 是圆周运动？

定义 $e$ 为： $\displaystyle e=\lim _{n \to \infty }(1+\frac{1}{n})^ n$ ——维基百科

这是实数域上的定义，可以推广到复数域 $\displaystyle e^ i=\lim _{n \to \infty }(1+\frac{i}{n})^ n$ 根据之前对复数乘法的描述，乘上 $(1+\frac{i}{n})$ 是进行伸缩和旋转运动， $n$ 取值不同，伸缩和旋转的幅度不同。

我们来看看 $e^ i=e^{i\times 1}$ 如何在圆周上完成1弧度的圆周运动的：

从图上可以退出 $n\to \infty$ 时： $e^ i$ 在单位圆上转动了1弧度。

再来看看 $e^{i\pi }$ 这个应该是在单位圆上转动 $\pi$ 弧度。

看来 $e^{i\theta }$ 确实是单位圆周上的圆周运动。

动手来看看 $e^{i\theta }$ 是如何运动的吧：互动操作访问马同学

2.4 $2^i$ 的几何含义是什么？

$2^i$ 看不出来有什么几何含义，不过我们稍微做个变换 $e^{iln2}$ ,几何含义还是挺明显的，沿圆周运动 $ln2$ 弧度。

2.5 欧拉公式与三角函数

根据欧拉公式 $e^{i\theta } = \cos \theta +i\sin \theta$ ，可以轻易推出：

$\sin \theta ={\frac{e^{{i\theta }}-e^{{-i\theta }}}{2i}}$ 和 $\cos \theta ={\frac{e^{{i\theta }}+e^{{-i\theta }}}{2}}$ 。三角函数定义域被扩大到了复数域。

把复数当作向量来看待，复数的实部是 $x$ 方向，虚部是 $y$ 方向，很容易观察出其几何意义。

2.6 欧拉恒等式

当 $\theta =\pi$ ,的时候，代入欧拉公式：

$e^{i\pi }=cos\pi +isin\pi =-1\implies e^{i\pi }+1=0$

$e^{i\pi }+1=0$ 就是欧拉恒等式，被誉为上帝公式， $e、\pi、i$ 乘法单位元1、加法单位元0，这五个重要的数学元素全部被包含在内，在数学爱好者眼里，仿佛一行诗道尽了数学的美好。

文章最新版本在（有可能会有后续更新）：如何通俗地解释欧拉公式？

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