数学建模之粒子群算法(PSO)

1.概念理解

Boid(bird-bid)模型
①冲突避免(collision avoidance):群体在一定空间移动,个体有自己的移动意志,但不能影响其他个体移动,避免碰撞与争执。
②速度匹配(velocity matching):个体必须配合中心移动速度,不管在方向、距离与速率上都必须相互配合。
③群体中心(flock centering):个体将会向群体中心移动,配合群体中心向目标前进。

粒子群算法(particle swarm optimization,PSO)就是依托该模型寻找最优值的。
群鸟觅食与人类决策的过程很相似。人在决策的时候通常会综合两种重要的信息:①自己的经验②别人的经验。同样的,群鸟在觅食的时候,每只鸟一开始都不知道食物在哪里,但是通过群内信息共享和个体觅食经验的积累,它们会自发聚集成一个群落,每只鸟能记住自己找到的最好位置,称为“局部最优”,还能记住群鸟整个整体能找到的最好位置,称为“全局最优”,整个鸟群的觅食中心都趋向全局最优移动,这在生物学上称之为“同步效应”

在群鸟觅食模型中,每个个体都可以被看成一个粒子,则鸟群可以被看成一个粒子群。

2.算法实现步骤

①初始化粒子群(速度和位置)、惯性因子、加速常数、最大迭代次数和算法终止的最小允许误差。
②计算每个粒子的初始适应值。
③找出个体和群体最优值和对应的位置。
④更新每个粒子的速度和位置,分别依据公式(8-1)、(8-2)

⑤比较当前各粒子的适应值是否比历史局部最优值好,如果好,就更新粒子的局部最优值和对应位置。
⑥找出当前粒子群众的全局最优值和对应的位置。
⑦重复步骤4~6,直到满足设定的最小误差或达到最大迭代次数。
⑧输出粒子群全局最优值和对应位置,以及各粒子的局部最优值和对应位置。

3.举例

function main()
    clc;clear all;close all;
    tic;                             %程序运行计时
    E0=0.001;                        %允许误差
    MaxNum=100;                      %粒子最大迭代次数
    narvs=1;                         %目标函数的自变量个数
    particlesize=30;                 %粒子群规模
    c1=2;                            %每个粒子的个体学习因子,也称为加速常数
    c2=2;                            %每个粒子的社会学习因子,也称为加速常数
    w=0.6;                           %惯性因子
    vmax=0.8;                        %粒子的最大飞翔速度
    x=-5+10*rand(particlesize,narvs);%粒子所在的位置
    v=2*rand(particlesize,narvs);    %粒子的飞翔速度
    %目标函数是:y=1+(2.1*(1-x+2*x.^2).*exp(-x.^2/2))
    fitness=@(x)1/(1+(2.1*(1-x+2*x.^2).*exp(-x.^2/2))); %定义适应度函数
    for i=1:particlesize
        for j=1:narvs
            f(i)=fitness(x(i,j));
        end
    end
    personalbest_x=x;
    personalbest_faval=f;
    [globalbest_faval, i]=min(personalbest_faval);
    globalbest_x=personalbest_x(i,:);
    k=1;
    while k<=MaxNum
        for i=1:particlesize
            for j=1:narvs
                f(i)=fitness(x(i,j));
            end
            if f(i)<personalbest_faval(i) %判断当前位置是否是历史上最佳位置
                personalbest_faval(i)=f(i);
                personalbest_x(i,:)=x(i,:);
            end
        end
        [globalbest_faval, i]=min(personalbest_faval);
        globalbest_x=personalbest_x(i,:);
        for i=1:particlesize %更新粒子群里每个个体的最新位置
            v(i,:)=w*v(i,:)+c1*rand*(personalbest_x(i,:)-x(i,:))...
                +c2*rand*(globalbest_x-x(i,:));
            for j=1:narvs    %判断粒子的飞翔速度是否超过了最大飞翔速度
                if v(i,j)>vmax
                    v(i,j)=vmax;
                elseif v(i,j)<-vmax
                    v(i,j)=-vmax;
                end
            end
            x(i,:)=x(i,:)+v(i,:);
        end
        if abs(globalbest_faval)<E0,break,end
        k=k+1;
    end
    Value1=1/globalbest_faval-1; Value1=num2str(Value1);
    % strcat指令可以实现字符的组合输出
    disp(strcat('the maximum value','=',Value1));
    % 输出最大值所在的横坐标位置
    Value2=globalbest_x; Value2=num2str(Value2);
    disp(strcat('the corresponding coordinate','=',Value2));
    x=-5:0.01:5;
    y=2.1*(1-x+2*x.^2).*exp(-x.^2/2);
    plot(x,y,'m-','linewidth',3);
    hold on;
    plot(globalbest_x,1/globalbest_faval-1,'kp','linewidth',4);
    legend('目标函数','搜索到的最大值');xlabel('x');ylabel('y');grid on;
    toc;                          %和上面的tic配合计算程序运行时间 

输出

the maximum value=5.1985
the corresponding coordinate=-1.1617
历时 3.184141 秒。
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