2.3.1 条件高斯分布

多元高斯的一个重要性质： 若果两组变量是联合高斯分布，那以一组变量维条件，另一组变量同样是高斯分布。类似的，任何一个变量的边缘分布也是高斯分布

首先来考虑条件概率的情形，本章的重要结论是得出条件高斯分布的 $p(x_a|x_b)$ 的均值和协方差的表达式为：
$\mu_{a|b} = \mu_a+\Sigma_{ab}\Sigma_{bb}^{-1}(x_b-\mu_b)\\ \Sigma_{a|b} = \Sigma_{aa} - \Sigma_{ab}\Sigma_{bb}^{-1}\Sigma_{ba}$

假设 $x$ 是一个服从高斯分布 $N(x|\mu,\Sigma)$ 的D维向量。我们将 $x$ 划分为两个不相交的子集 $x_a$ ， $x_b$ 。这样我们令 $x_a$ 为 $x$ 的前 $M$ 个分量， $x_b$ 为 $x$ 的后 $D-M$ 个分量，有
$x=\begin{bmatrix} {x_a}\\ {x_b} \end{bmatrix}$
同样均值向量 $\mu$ 为
$\mu=\begin{bmatrix} {\mu_a}\\ {\mu_b} \end{bmatrix}$
协方差矩阵 $\Sigma$ 为

$\Sigma=\begin{bmatrix} {\Sigma_{aa}}&{\Sigma_{ab}}\\ {\Sigma_{ba}}&{\Sigma_{bb}} \end{bmatrix}\\ 其中由于\Sigma的对称性，\Sigma_{aa}，\Sigma_{bb}都是对称的，而\Sigma_{ab}^T = \Sigma_{ba}$

在这引入精度矩阵 $\wedge$ ，精度矩阵 $\wedge$ 是协方差的逆矩阵 $\Sigma^{-1}$ ，高斯分布的一些性质可以使用精度矩阵来表示，对于向量 $x$ ，其划分形式为
$\wedge_=\begin{bmatrix} {\wedge_{aa}}&{\wedge_{ab}}\\ {\wedge_{ba}}&{\wedge_{bb}} \end{bmatrix}\\ 其中对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵，\wedge_{aa}，\wedge_{bb}都是对称的，而\wedge_{ab}^T = \wedge_{ba}。\\需要强调的是，\wedge_{aa}并非简单对\Sigma_{aa}求逆，后面会详细讲到$

以下为证明：

寻找条件概率 $p(x_a|x_b)$ 的表达式，将上一章高斯分布指数项给出的二次型公式 $\Delta^2 = (x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)$ ，结合本章的公式可以得出：
$-\frac{1}{2}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu) = \\ -\frac{1}{2}(x_a-\mu_a)^T\wedge_{aa}(x_a-\mu_a)-\frac{1}{2}(x_a-\mu_b)^T\wedge_{ab}(x_a-\mu_b)\\ -\frac{1}{2}(x_b-\mu_a)^T\wedge_{ba}(x_b-\mu_a)-\frac{1}{2}(x_b-\mu_b)^T\wedge_{bb}(x_b-\mu_b)$
从上面的公式来找到 $p(x_a|x_b)$ 的均值和协方差的表达式
同时，高斯分布的指数项的完全平方可以写成一般形式
$-\frac{1}{2}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu) =-\frac{1}{2}x^T\Sigma^{-1}x+x^T\Sigma^{-1}\mu+C$
一般形式下， $x$ 的二阶项的系数矩阵为协方差的逆矩阵 $\Sigma^{-1}$ ，线性项的系数等于 $\Sigma^{-1}\mu$ ，从而求得协方差矩阵和均值，常数项表示于 $x$ 无关的项
将上面的公式应用到高斯分布 $p(x_a|x_b)$ ，将该分布的均值和方差记作 $\mu_{a|b}$ 和 $\Sigma_{a|b}$ ，将 $x_b$ 当作常量。
a. 首先我们找出所有 $x_a$ 的二阶项(注意 $\mu_a,\mu_b,x_b,\wedge$ 等均为常量)，有
$-\frac{1}{2}x_a^T\wedge_{aa}x_a$
显而易见
$\Sigma_{a|b} = \wedge_{aa}^{-1}$
b.然后我们考虑 $x_a$ 的一阶项
$-\frac{1}{2}(x_a-\mu_a)^T\wedge_{aa}(x_a-\mu_a)得到x_a^T\wedge_{aa}\mu_a\\ -\frac{1}{2}(x_a-\mu_b)^T\wedge_{ab}(x_a-\mu_b)得到-\frac{1}{2}(x_a^T\wedge_{ab}x_b-x_a^T\wedge_{ab}\mu_b)\\ -\frac{1}{2}(x_b-\mu_a)^T\wedge_{ba}(x_b-\mu_a)得到-\frac{1}{2}(x_b^T\wedge_{ba}x_a-\mu_b^T\wedge_{ba}x_a)\\ 利用\wedge_{ba}^T = \wedge_{ab}，a^T M b = b^TM^Ta的运算法则，可以得到一阶项为\\ a^T(\wedge_{aa}\mu_a-\wedge_{ab}(x_b-\mu_b))$
结合 $\Sigma_{a|b}$ 可知
$\Sigma_{a|b}^{-1}\mu_{a|b} = \wedge_{aa}\mu_a-\wedge_{ab}(x_b-\mu_b)\\ \mu_{a|b} = \wedge_{aa}^{-1}(\wedge_{aa}\mu_a-\wedge_{ab}(x_b-\mu_b))\\ =\mu_a-\wedge_{aa}^{-1}\wedge_{ab}(x_b-\mu_b)$

初步结论
$\mu_{a|b} =\mu_a-\wedge_{aa}^{-1}\wedge_{ab}(x_b-\mu_b)\\ \Sigma_{a|b} = \wedge_{aa}^{-1}$

初步结论的结果是使用分块精度矩阵 $\wedge$ 来表达的，下面换成分块协方差矩阵来表达。

对于分块矩阵的逆矩阵有恒等式
$\begin{bmatrix} {A}&{B}\\ {C}&{D} \end{bmatrix}^{-1} =\begin{bmatrix} {M}&{-MBD^{-1}}\\ {-D^{-1}CM}&{D^{-1}+D^{-1}CMBD^{-1}} \end{bmatrix}\\ 其中M=(A-BD^{-1}C)^{-1}，M^{-1}为左侧矩阵关于子矩阵D的舒尔补$

使用该恒等式，有
$\wedge_{aa} = (\Sigma_{aa}-\Sigma_{ab}\Sigma_{bb}^{-1}\Sigma_{ba})^{-1}\\ \wedge_{ab} = -(\Sigma_{aa}-\Sigma_{ab}\Sigma_{bb}^{-1}\Sigma_{ba})^{-1}\Sigma_{ab}\Sigma_{bb}^{-1}$

可以得到
$\mu_{a|b} =\mu_a+\Sigma_{ab}\Sigma_{bb}^{-1}(x_b-\mu_b)\\ \Sigma_{a|b} = \Sigma_{aa}-\Sigma_{ab}\Sigma_{bb}^{-1}\Sigma_{ba}$

另外，条件概率分布 $p(x_a|x_b)$ 的均值是 $x_b$ 的线性函数，协方差与 $x_b$ 无关，这是线性高斯模型的一个例子

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