有一群青蛙幸福地生活在一个大池塘的一角。池塘的另一边有一片睡莲。一天，池塘里面流进来了一些具有刺激睡莲生长的化学污染物，它们可以让睡莲每24小时增长一倍。这对青蛙而言是个问题，因为如果睡莲覆盖了整个池塘，青蛙就将被赶出池塘。
我们来看三个问题：
·如何描述睡莲的增长？
·如果睡莲可以在50天内覆盖整个池塘，那什么时候池塘会被覆盖一半？
·如果青蛙有一种阻止睡莲生长的方法，但是需要花10天时间来将这个方法付诸实施。请问池塘被睡莲覆盖的面积最大可以达到多少百分比时，青蛙仍然还有可能采取行动挽救自己？
（一）我们先来看第一个问题：如何描述睡莲的增长？
睡莲的增长模式就是每经过一定的时间（这里是24小时），睡莲就会增长一倍。用数学公式来表述就是：（1+100%）^N（N次方），如果你用电脑画图，就会发现这个公式呈现出的就是一副指数增长图，刚开始变化很小，到最后增长趋势几乎达到90°。
与这个图类似的故事就是宰相西萨·班·达依尔发明国际象棋后，国王舍罕奖励宰相稻谷的故事，大家可以自行百度，我这里就不再复述了。
（二）我们接着来看第二个问题：什么时候池塘会被覆盖一半？
如果睡莲需要50天才能覆盖池塘，而且它们每天增长一倍，那么第49天结束的时候，池塘就将被遮盖掉一半，而不是在第25天。如果增长是线性的，那么池塘确实会在第25天结束时被睡莲覆盖一半。很多人对第二个问题的回答是25天，这在很大程度上可能是因为对于大多数人来说，想象线性增长的情形要比想象指数增长的情形来得容易。
（三）我们来看最后，也是最关键的一个问题：睡莲的面积最大可以达到多少百分比之前，青蛙仍然能采取行动挽救自己？
这个问题指出，青蛙可以阻止睡莲的增长，但是一共需要10天时间才能完成这项工作。因此，如果它们希望自己的工作能够收到效果，则它们最迟也要在第40天结束之前开始行动；否则，它们就必然会落后于睡莲并被赶出池塘。一旦时间走过了第40天，青蛙就只能束手就擒了——它们的末日到了。
那么，40天的时候池塘会被睡莲覆盖多少？解决这个问题的最简单方法就是倒推。我们已经知道，到第50天结束的时候池塘会被睡莲完全覆盖；第49天结束的时候被覆盖1/2；第48天结束的时候被覆盖1/2×1/2=1/4；第47天结束的时候被覆盖1/2×1/2×1/2=(1/2)）^3……依此类推。这意味着在第40天结束的时候，也就是青蛙能够采取行动的最晚时间，此时池塘已经被睡莲覆盖了(1/2)）^10。
(1/2)）^10是一个非常非常小的数字——只是0.00098，比1/1000还要小。就这样，在必然灭亡的10天之前，睡莲所覆盖的面积尚不到整个池塘的1/1000！
从青蛙的观点来看，它们必须对很远很远地方发生的、非常非常小的事情保持警惕，并及时采取行动。如果它们在危险真正降临之前没有采取行动，比如它们突然发现睡莲已经覆盖了池塘的1/4甚至是1/2，那么，一切都晚了。
（摘录的一篇文章，细思极恐！）
