高等代数理论基础25：线性方程组解的结构

线性方程组解的结构

齐次线性方程组

给定齐次线性方程组 $\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+\cdots+a_{sn}x_n=0\end{cases}$

它的解所成的集合具有以下性质：

1.两个解的和还是方程组的解

证明：

$设(k_1,k_2,\cdots,k_n)与(l_1,l_2,\cdots,l_n)是方程组的两个解$

$把它们代入方程组,每个方程成恒等式,即$

$\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}k_j=0,\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}l_j=0(i=1,2,\cdots,s)$

$把两个解的和(k_1+l_1,k_2+l_2+\cdots+k_n+l_n)代入方程组可得$

$\sum\limits_{j=1}^na_{ij}(k_j+l_j)=\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}k_j+\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}l_j=0$

$说明两个解的和确实是方程组的解\qquad\mathcal{Q.E.D}$

2.一个解的倍数还是方程组的解

证明：

$设(k_1,k_2,\cdots,k_n)是方程组的一个解$

$显然(ck_1,ck_2,\cdots,ck_n)也是方程组的解$

$\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}(ck_j)=c\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}k_j=0(i=1,2,\cdots,s)\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：解的线性组合还是方程组的解

基础解系

定义：齐次线性方程组的任一解都能表成 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_t$ 的线性组合,且 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_t$ 线性无关,则称 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_t$ 为方程组的一个基础解系

定理：在齐次线性方程组有非零解的情况下,它有基础解系,且基础解系所含解的个数等于n-r,r表示系数矩阵的秩

证明：

$设方程系数矩阵的秩为r$

$不妨设左上角的r级子式不为零$

$方程组可改写成$

$\begin{cases}a_{11}x_1+\cdots+a_{1r}x_r=-a_{1,r+1}x_{r+1}-\cdots-a_{1n}x_n\\ a_{21}x_1+\cdots+a_{2r}x_r=-a_{2,r+1}x_{r+1}-\cdots-a_{2n}x_n\\ \cdots\\ a_{r1}x_1+\cdots+a_{rr}x_r=-a_{r,r+1}x_{r+1}-\cdots-a_{rn}x_n\end{cases}$

$若r=n,则方程组没有自由未知量,方程组右端全为零$

$方程组只有零解$

$不存在基础解系$

$r\lt n$

$把自由未知量的任意一组值(c_{r+1},\cdots,c_n)代入方程组$

$可唯一确定方程组的一个解$

$即方程组的任意两个解$

$只要自由未知量的值一样,这两个解就完全一样$

$若在一个解中自由未知量的值全为零,则该解一定是零解$

$用n-r组数代自由未知量(x_{r+1},x_{r+2},\cdots,x_n)$

$(1,0,\cdots,0),(0,1,\cdots,0),\cdots,(0,0,\cdots,1)$

$可得方程组的n-r个解$

$\begin{cases}\eta_1=(c_{11},\cdots,c_{1r},1,0,\cdots,0)\\ \eta_2=(c_{21},\cdots,c_{2r},1,0,\cdots,0)\\ \cdots\\ \eta_{n-r}=(c_{n-r,1},\cdots,c_{n-r,r},0,0,\cdots,1)\end{cases}$

$下证它为一个基础解系$

$显然,\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_{n-r}线性无关$

$若k_1\eta_1+k_2\eta_2+\cdots+k_{n-r}\eta_{n-r}=0$

$k_1\eta_1+k_2\eta_2+\cdots+k_{n-r}\eta_{n-r}=(*,\cdots,*,k_1,k_2,\cdots,k_{n-r})$

$\therefore k_1=k_2=\cdots=k_{n-r}=0$

$\therefore \eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_{n-r}线性无关$

$下证方程组的任一解都可由\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_{n-r}线性表出$

$设方程组的一个解\eta=(c_1,\cdots,c_r,c_{r+1},c_{r+2},\cdots,c_n)$

$\because \eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_{n-r}是方程组的解$

$\therefore c_{r+1}\eta_1+c_{r+2}\eta_2+\cdots+c_{n}\eta_{n-r}也是一个解$

$显然两者自由未知量有相同的值$

$\therefore 两个解完全一样$

$即\eta=c_{r+1}\eta_1+c_{r+2}\eta_2+\cdots+c_{n}\eta_{n-r}$

$即任意一个解\eta都能表成\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_{n-r}的线性组合$

$综上所述,\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_{n-r}为方程组的一个基础解系$

$\therefore 齐次线性方程组有基础解系$

$由定义知任两个基础解系等价$

$同时它们又线性无关$

$\therefore 有相同个数的向量\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系

一般线性方程组

给定一般线性方程组 $\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots\\ a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+\cdots+a_{sn}x_n=b_s\end{cases}$

将常数项换成0即得齐次方程组,称为方程组的导出组,方程组的解与它的导出组的解之间关系如下：

1.线性方程组的两个解的差是它的导出组的解

证明：

$设(k_1,k_2,\cdots,k_n)与(l_1,l_2,\cdots,l_n)是方程组的两个解$

$即\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}k_j=b_i,\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}l_j=b_i(i=1,2,\cdots,s)$

$它们的差为(k_1-l_1,k_2-l_2,\cdots,k_n-l_n)$

$显然\sum\limits_{j=1}^na_{ij}(k_j-l_j)=\sum\limits_{j=1}^na_{ij}k_j-\sum\limits_{j=1}^na_{ij}l_j=b_i-b_i=0$

$(i=1,2,\cdots,s)$

$即(k_1-l_1,k_2-l_2,\cdots,k_n-l_n)是导出组的一个解\qquad\mathcal{Q.E.D}$

2.线性方程组的一个解与它的导出组的一个解之和还是这个线性方程组的一个解

证明：

$设(k_1,k_2,\cdots,k_n)是方程组的一个解$

$即\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}k_j=b_i(i=1,2,\cdots,s)$

$设(l_1,l_2,\cdots,l_n)是导出组的一个解$

$即\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}l_j=0(i=1,2,\cdots,s)$

$显然\sum\limits_{j=1}^na_{ij}(k_j+l_j)=\sum\limits_{j=1}^na_{ij}k_j+\sum\limits_{j=1}^na_{ij}l_j=b_i+0=b_i$

$(i=1,2,\cdots,s)\qquad \mathcal{Q.E.D}$

定理：若 $\gamma_0$ 是方程组的一个特解,则方程组的任一解 $\gamma$ 都可表成 $\gamma=\gamma_0+\eta$ ,其中 $\eta$ 是导出组的一个解

对方程组的任一特解 $\gamma_0$ ,当 $\eta$ 取遍它的导出组的全部解时,即得方程组的全部解

证明：

$显然\gamma=\gamma_0+(\gamma-\gamma_0)$

$\gamma-\gamma_0为导出组的一个解$

$令\gamma-\gamma_0=\eta$

$即得结论$

$方程组的任一解都可表成\gamma=\gamma_0+\eta$

$在\eta取遍导出组的全部解时$

$\gamma=\gamma_0+\eta也取遍方程组的全部解\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：可用导出组的基础解系来表出一般方程的一般解：若 $\gamma_0$ 是方程组的一个特解, $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_{n-r}$ 是导出组的一个基础解系,则方程组的任一个解 $\gamma$ 都可表成 $\gamma=\gamma_0+k_1\eta_1+k_2\eta_2+\cdots+k_{n-r}\eta_{n-r}$

推论：在方程组有解的条件下,解是唯一的充要条件是它的导出组只有零解

证明：

$充分性$

$若方程组有两个不同的解$

$则它的差为导出组的一个非零解$

$\therefore 若导出组只有零解$

$则方程组有唯一解$

$必要性$

$若导出组有非零解$

$则该解与方程组的一个解的和即为方程组的另一个解$

$即方程组不止一个解$

$\therefore 方程组有唯一的解$

$则它的导出组只有零解\qquad \mathcal{Q.E.D}$

线性方程组的几何意义

给定线性方程组 $\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2\end{cases}$

方程组中每一个方程表示一个平面,线性方程组有没有解即两个平面有没有交点,方程组系数矩阵与增广矩阵分别为

$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{pmatrix}$ , $\bar{A}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&b_1\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&b_2\end{pmatrix}$

它们的秩有三种情形：

1.r(A)=1,r( $\bar{A}$ )=1：即A的两行成比例,两个平面平行,又 $\bar{A}$ 的两行也成比例,所以两个平面重合,方程组有解

2.r(A)=1,r( $\bar{A}$ )=2：即两个平面平行而不重合

3.r(A)=2,r( $\bar{A}$ )=2：即两个平面不平行,一定相交,方程组有解

解的几何意义

设矩阵A的秩为2,此时一般解中有一个自由未知量,不妨设为 $x_3$ ,一般解的形式为 $\begin{cases}x_1=d_1+c_1x_3\\x_2=d_2+c_2x_3\end{cases}$

从几何上看,两个不平行的平面相交成一条直线,将一般解改写一下就是直线的点向式方程 ${x_1-d_1\over c_1}={x_2-c_2\over c_2}=x_3$ ,引入参数t,令 $x_3=t$ 可得 $\begin{cases}x_1=d_1+c_1t\\x_2=d_2+c_2t\\x_3=t\end{cases}$ ,为直线的参数方程

最后编辑于：2019.02.18 17:40:50

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 219,110评论 6赞 508
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 93,443评论 3赞 395
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 165,474评论 0赞 356
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 58,881评论 1赞 295
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 67,902评论 6赞 392
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 51,698评论 1赞 305
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 40,418评论 3赞 419
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 39,332评论 0赞 276
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 45,796评论 1赞 316
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 37,968评论 3赞 337
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 40,110评论 1赞 351
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 35,792评论 5赞 346
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 41,455评论 3赞 331
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 32,003评论 0赞 22
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 33,130评论 1赞 272
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 48,348评论 3赞 373
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 45,047评论 2赞 355