同济高等数学第七版1.9习题精讲（续二）

4.求下列极限：

(1) $\lim _{x \rightarrow\infty} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}} ; \quad$ (2) $\lim _{x \rightarrow 0} \ln \frac{\sin x}{x}$
(3) $\lim _{x \rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{x}{2}} ; \quad$ (4) $\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+3 \tan ^{2} x\right)^{\cot ^{2} x}$
(5) $\lim \left(\frac{3+x}{6+x}\right)^{\frac{x-1}{2}} ; \quad$ (6) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x \sqrt{1+\sin ^{2} x}-x}$
(7) $\lim _{x \rightarrow e} \frac{\ln x-1}{x-\mathrm{e}} ; \quad$ (8) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{3 x}-\mathrm{e}^{2 x}-\mathrm{e}^{x}+1}{\sqrt[3]{(1-x)(1+x)}-1}$

解：(1) $\lim _{x \rightarrow\infty} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}} =e^{\lim _{x \rightarrow\infty} {\frac{1}{x}} }=1\quad$ 此题需要同时考虑 $\pm \infty$
(2) $\lim _{x \rightarrow 0} \ln \frac{\sin x}{x}=ln(\lim_{x\to 0}\frac{sinx}{x})=0$ 由复合函数极限运算和第一个重要极限
(3) $\lim _{x \rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{x}{2}} =e^\frac{1}{2}; \quad$ 此题根据第二个重要极限形式进行求解
(4) $\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+3 \tan ^{2} x\right)^{\cot ^{2} x}=\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+3 \tan ^{2} x\right)^{\frac {1}{3tan ^{2} x}3}=e^3$ 第二个重要极限

(5) $\lim \left(\frac{3+x}{6+x}\right)^{\frac{x-1}{2}} =\lim \left(1+\frac{-3}{6+x}\right)^{\frac{x-1}{2}} =\lim \left(1+\frac{-3}{6+x}\right)^{-\frac{6+x}{3}(-\frac{3}{2})-\frac{7}{2}} =e^{-\frac{3}{2}}; \quad$ 按照第二个重要极限求解

(6) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x \sqrt{1+\sin ^{2} x}-x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x(\sqrt{1+\sin ^{2} x}-1)(\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x})}$ 有理化进行求解
$=\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{{\frac{1}{cosx}}-1}{\sqrt{1+\sin ^{2} x}-1} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}}\right)$
$=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{\frac{1}{2} \sin ^{2} x} \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}}$
$=1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

(7) 令 $x-e=t$ 原式= $\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\ln (\mathrm{e}+t)-\ln \mathrm{e}}{t}=\lim_{x\to0}\frac{ln(1+\frac{t}{e})}{t}=\frac{1}{e}$ 后续的课程中会使用洛必达法则求解，会简单一些。

(8) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{3 x}-\mathrm{e}^{2 x}-\mathrm{e}^{x}+1}{\sqrt[3]{(1-x)(1+x)}-1}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\mathrm{e}^{2 x}-1\right)\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)}{\left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{3}}-1}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x \cdot x}{-\frac{1}{3} x^{2}}=-6$ 等价无穷小替换

同济高等数学第七版1.9习题精讲（续二）

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