同济高等数学第七版1.8习题精讲

1.设 $y=f(x)$ 的图形如图1-11所示，试指出 $f(x)$ 的全部间断点，并对可去间断点补充或修改函数值的定义，并使它成为连续点。

1-11.png

解：间断点为 $x=-1,x=0,x=1,x=2$ ，其中只有 $x=0$ 为跳跃间断点。在 $x=-1$ 处补充 $f(-1)=0$ 在 $x=1$ 处补充 $f(1)=2$ ，在 $x=2$ 处补充 $f(2)=0$ .

2.研究下列函数的连续性，并画出函数的图形。

(1) $f(x)=\begin{cases}x^2,0\leq x\leq 1\\2-x,1<x \leq 2 \end{cases}$

(2) $f(x)=\begin{cases}x,-1\leq x\leq 1\\1,x<-1或x>1 \end{cases}$

解：(1)连续。

(2)在 $x=-1$ 处右连续。

3.下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类，如果是可去间断点。那么补充或改变函数的定义使它连续。

(1) $y=\frac{x^2-1}{x^2-3x+2},x=1,x=2$

(2) $y=\frac{x}{tanx},x=k\pi,x=k\pi+\frac{\pi}{2}(k=0,\pm1,\pm2,\cdots)$

(3) $y=cos^2\frac{1}{x},x=0$

(4) $y=\begin{cases}x-1,x\leq1\\3-x,x>1\end{cases},x=1.$

解：(1) $x=1$ 处是可去间断点，重新定义函数 $f(1)=-2$ 。

(2) $x=0$ 时，为第一类可去间断点。可以补充定义 $f(0)=1$

$x=k\pi(k=\pm1,\pm2,\cdots)$ ,为无穷间断点。 $x=k\pi+\frac{\pi}{2}(k=0,\pm1,\pm2,\cdots)$ 为第一类可去间断点。需补充定义函数值为0.

(3)振荡间断点。

(4)因为左极限是0，右极限是2，为跳跃间断点。

4.讨论函数 $f(x)=\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{1-x^{2n}}{1+x^{2n}}x$ 的连续性，若有间断点，判断其类型。

解： $f(x)=\begin {cases}-x,|x|>1\\0,|x|=1,\\x,|x|<1\end {cases}$

在 $x=\pm1$ 处为跳跃间断点。（画图可以帮助判断）

5.下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例。

(1)如果函数 $f(x)$ 在 $a$ 连续，那么 $|f(x)|$ 也在 $a$ 连续.

(2)如果函数 $|f(x)|$ 在 $a$ 连续，那么 $f(x)$ 也在 $a$ 连续.

解：对，因为函数 $f(x)$ 在 $a$ 连续，说明 $x\to a,|f(x)-f(a)|\to 0$ ,而 $||f(x)|-|f(a)||\leq|f(x)-f(a)|$ 也会 $\to 0$ .

此题中需要根据不等式性质 $|x|-|y|\leq||x|-|y||\leq|x-y|$ 。左边不等式大于等于自身显然成立，右边可以想象如果 $y$ 是负的。就很容易想出来了。

(2)错误。例如 $y=\begin{cases}2,x\geq0\\-2,x<0\end{cases}$ 。

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