一、练练有词完成 2019年视频 unit 01 最后一节
二 数学 完成汤家凤 不定积分结尾一节 以及第五章 定积分 的前三节
其中涉及：
1.函数 原函数 ：
连续函数 一定存在原函数
不定积分的基本公式：
1、常数函数
2、指数函数
3、幂函数
4、对数函数
5、三角函数
2.第一类还原积分（凑微分）
3.第二类还原积分（还原法）
a、如果存在无理数 多数情况下 需要转化为有理函数 （也不是必须得 有时候可以直接使用凑微分）
不能凑微分的条件下需要将 无理数 进行还原处理 转化为有理数 （笔记57）
无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现（百科）
b、平方差 平方和的格式
三角替换的一些情形需要背下来
根号下面 平方和 平方差的情形
4.分部积分
分部积分的起源：
使用分部积分的情形：
a、被积函数 为 幂函数 混 指数函数
b、幂函数 与 对数函数混在一起
c、幂函数 与 三角函数 混在一起
三 、有理函数的不定积分
R(x) = P(x) / Q(x)
需要对上面的函数分类：
如果是真分数:
需要拆分成部分和的形式：
a、如果分母能够因式分解：
分母必须进行因式分解 分子可以不管
b、如果分母不能因式分解：
不能分解 就进行凑微分
如果是假的分数：
需要将格式转化为 多项式 + 真分数 的格式 具体的转化过程 （笔记 64）
第五章 定积分
一、背景：近似的求曲线与坐标之间的面积 如何无限精确
分为三部分：
1、将f(x)的自变量的区间 分割成无数个小段
2、保证 入 = max{ △ x1 .....△xn} -> 0;
3、对 f(x ) x(△xi) 对 i 从 1 到 n 进行求和；
函数f(x)有界是可以积分的必要条件 ：没有这个条件不行，但是只是满足这个条件是不能反推的。（举例 笔记 72）
例子是 x 为有理数的情况下为 f(x) = 1 ；无理数的情况下为 f(x ) = 0 ;这种情况下分 取 任意的有理数 任意的无理数 他们之间 可以满足无限划分的要求：？
这个例子能够证明 有界不能说明就是可以积分的
4、在前面章节中 学习到 ：分子 分母 阶 整齐 定积分 不整齐 ：夹逼定理
定积分+ 牛顿莱布尼茨公式、
5、定积分的上下限与韩顺有关于 积分变量无关（还原之后不需要还原）
不定积分（本身是一个函数） 与积分变量是有关的 还原之后需要还原、
6、定积分的计算：表达式中也就是f ( ) 括号中 不能有积分上限 一样的 x ; 需要 对 （）中的函数进行环院之后才能计算；
7、牛顿莱布尼茨公式的证明
8、定积分的一般性质：
加减
常数外提
拆分
定义域中 f(x）>0 积分 值也是>0
....
9、积分中值定理：
闭区间 ：使用介值定理进行证明
10、积分中值定理的推广：
开区间：使用牛顿莱布尼茨 + 拉格朗日公式 进行证明
