2.8 量子谐振子梯度算符 ladder operator

https://www.youtube.com/watch?v=gRdCV9p8sAU&list=PL65jGfVh1ilueHVVsuCxNXoxrLI3OZAPI&index=20

前言

本节利用谐振子算符，构建薛定谔方程，再用梯度算符求解。

1. 谐振子波函数图像

- k是弹性常数 $\omega = \sqrt {k/m}$
- 如果定义波函数起始点是中间绿色的点，且水平方向开始延申，那么波函数（绿色线) 会如下图所示(定性)：
  
  image.png
- 如果把提高能量线，起始点与能量一致，且有斜度开始延申，波函数可能如下图所示： $\color{red}{这里有点问题，起始点向左，同样是E>V，为什么开口向上呢？因为E能量就是相当于纵坐标中的正负分界线}$
  
  image.png

2. 谐振子薛定谔方程TISE

$\underbrace{({- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 }{\partial x^2} + \frac1 2 m \omega^2 x^2})}_{\hat H} \Psi = E \Psi\\ =1/{(2m)}(\hat p^2 + (m\omega x)^2)\\ \because (z^2+b^2) = (ia+b)(-ia+b)\\ Suggest:\ \ \ \ \pm i\hat p + m\omega \hat x$

梯度算符
- 假设 $\hat a_{\pm}$ 作为升阶和降阶算符如下，前面的系数纯粹是一种数学上的小技巧。
  $\hat a_{\pm} = \frac{1}{\sqrt{2 \hbar m \omega}}(\pm i\hat p + m \omega \hat x)$
那么 $\hat a_- \cdot \hat a_+ =\hat H$ 公式是否成立？

$\Rightarrow \frac{1}{2 \hbar m \omega} (i\hat p + m\omega \hat x )(-i\hat p + m\omega \hat x)$

$\Rightarrow \underbrace{\frac{1}{2 \hbar m \omega}(\hat p^2 + m^2 \omega^2 \hat x^2}_{\frac 1 {\hbar \omega }\hat H} - im\omega \underbrace{(\hat x \hat p - \hat p \hat x)}_{[\hat x,\ \hat p]})$

其中 $[\hat x,\ \hat p]$ 就是commutator 转化器 对易子

2. 对易子和梯度算符

$[\hat A,\ \hat B] = \hat A \hat B - \hat B \hat A$

$[\hat x,\ \hat p]\psi = (\hat x \hat p - \hat p \hat x )\psi$

$\hat x (\hat p \psi) - \hat p (\hat x \psi) = x (-i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial x})-(-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}(x \psi))$
对右边括号内进一步求导：
$\Rightarrow -i \hbar (x \frac{\partial}{\partial x} - \psi - x\frac{\partial}{\partial x}) = i \hbar \psi$

$\Rightarrow \underbrace{[\hat x,\ \hat p]=i \hbar}$
带入 $\hat a_- \cdot \hat a_+ =\underbrace{\frac{1}{2 \hbar m \omega}(\hat p^2 + m^2 \omega^2 \hat x^2}_{\frac 1 {\hbar \omega} \hat H} - im\omega \underbrace{(\hat x \hat p - \hat p \hat x)}_{[\hat x,\ \hat p]}) \\ = \frac{1}{\hbar \omega} \hat H + 1/2 \\$

$or\ \ \hat a_+ \cdot \hat a_-= \frac{1}{\hbar \omega} \hat H - 1/2 \\$

以上证明我们可以用a和常数来表示H算符
$即\hat H = \begin{cases} \hbar \omega (\hat a_-\hat a_+ -1/2)\\ \\ \hbar \omega (\hat a_+\hat a_- +1/2) \end{cases}$
接下来是聪明的地方：梯度算符和能量
假设 $\Psi是薛定谔方程的解，那么\hat a_+\Psi 也是薛定谔方程的解，只不过方程变成了\hat H (\hat a_+\Psi )=(E + h\omega)(\hat a_+\Psi )$
- 接下来我们化简 $\hat H (\hat a_+\Psi )$
  $\Rightarrow \hbar \omega (\hat a_+\hat a_- +1/2) \hat a_+ \Psi = \hbar \omega (\hat a_+\hat a_-\hat a_+ +1/2\hat a_+) \Psi$
  $= \hbar \omega \hat a_+ (\hat a_+\hat a_- +1/2) \Psi = \hbar \omega \hat a_+ (\hat a_+\hat a_- - 1/2 + 1) \Psi$
  这就通过提取 $\hat a_+$ 符号到左边，然后构成 $\hat H$ :
  $= \hat a_+ (\hat H + \hbar \omega) \Psi = \hat a_+ (E + \hbar \omega) \Psi = (E + \hbar \omega) \hat a_+ \Psi$
至此，我们证明了：
$\hat H (\hat a_+\Psi ) = (E + \hbar \omega) \hat a_+ \Psi$
所以这是一种生产新解的方法，如果我们得到了一个薛定谔方程的解，通过升降能量 $\hbar \omega$ 就可以得到其他的解，这就让我们得到了一系列能量阶梯，逐渐增加的解的集合，所谓升降能级， $\hat a_+$ 是升阶算符， $\hat a_-$ 是降阶算符。

3.梯度算符和基态

至此我们还没求解过一个薛定谔方程,但是得到了如下关系：
$\Psi solution \Rightarrow \hat a_+\psi\ \ solution \rightarrow E+\hbar \omega$
$\Psi solution \Rightarrow \hat a_-\psi\ \ solution \rightarrow E-\hbar \omega$

即一个递减的阶梯算符，但是波函数是啥，还不知道

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那么如何求解波函数呢？假设a_不断作用的波函数上，会得到低于0的能量状态，而这是不存在的，所以，假设存在一个最小波函数 $\Psi_0$ ，对他作用一个 $a_-$ 后，得到一个不存在的波函数 $\hat a_+\Psi_0$ ，那么根据波函数的平方是粒子存在的概率，这个新的波函数=0：
- 所以根据
  $\hat a_+\Psi_0 =0$
  波函数归一化条件（积分=1）可以求得最低波函数 $\Psi_0$ 的解
  $\hat a_{-} = \frac{1}{\sqrt{2 \hbar m \omega}}( \hbar \frac{d}{dx} + m \omega \hat x) \Psi_0 = 0$
  $\Rightarrow \frac{d\psi_0}{dx}=-\frac{m \omega}{\hbar} x \psi_0$
  $\Rightarrow \int \frac{d\psi_0}{d \psi}=\int -\frac{m \omega}{\hbar} x dx$
  解得： $\psi_0 =A e^{\frac{m \omega}{2\hbar}x^2}$
总结

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求解波函数 $\Psi_1$ ,
根据上述升阶or降阶算符可以求得任何薛定谔方程

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