弹性力学复习

念同学

时间： 2020-5-12

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前言

本篇复习笔记粗略列出了部分公式且介绍了本科少学时学习的内容，都是比较浅显的内容，仅做复习使用（并不涉及张量，可能以后会重新写份更详细的学习笔记吧），参考的是徐芝纶的《弹性力学简明教程》（课后答案我放公众号里了），由于图较多会引起排版困难，所以在此基本省略了例题，更多学习笔记请关注我的公众号

0.内容梳理

介绍了弹性力学介绍的对象以及一些规定；
直角坐标的逻辑是，以位移为基本未知量进行求解，以应力作为未知量进行求解，常体力下基
于应力函数的求解，这三个基本思路；
极坐标的求解主要还是基于用逆解与半逆解，基于应力函数来求解，只不过这里的方程形式都
已经变了；
极坐标得到了许多有趣的解答，比如说含空洞的多连同结构的应力场分析(孔洞应力集中) ,
半空间体(地基)受到分布荷载作用下的沉降。

1.绪论

研究对象

研究对象广泛 ：研究各种形状的弹性体，除杆件外，还研究平面体、空间体，板和壳等。

研究方法

在弹性体区域 $V$ 内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，在边界 $S$ 上严格考虑受力条件和约束条件，建议微分方程和边界条件并进行求解，得出较为精确的解答。

特点

公式多、公式相互关系复杂、公式间的继承关系较多、数学要求高。

基本假设及其意义

连续性：各力学量可用连续函数表示
完全弹性：应力与应变成线性关系
均匀性：描述材料弹性性质的一组参数成为常数，与点的位置坐标无关，称为弹性常数。
各项同性：弹性常数由最一般的21个缩减为2个，比如弹性模量 $E$ 和泊松 $\mu$
小变形：保证控制方程为线性

基本概念

外力：面力 $\overline{f}$ ，体力 $f$
应力：正应力 $\sigma$ ，切应力 $\tau$
位移：一点位置的移动，用 $u, v, w$ 表示

正负号规定

正应力：拉为正、压为负
切应力：对截面附近物体内一点取矩，产生顺时针方向力矩的切应力为正

2.平面问题的基本理论

平衡微分方程

两个微分方程，三个未知函数，因此微分体的平衡是超静定的，必须考虑几何学和物理学方面的条件，才能解决问题：
$\begin{cases} \frac{\partial \sigma_{x}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{y x}}{\partial y}+f_{x}=0\\ \frac{\partial \tau_{x y}}{\partial x}+\frac{\partial \sigma_{y}}{\partial y}+f_{y}=0\\ \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}\right)\left(\begin{array}{cc}\sigma_{x} & \tau_{x y} \\ \tau_{y x} & \sigma_{y}\end{array}\right)+\left(f_{x}, f_{y}\right)=0$

几何方程

当弹性体的位移分量完全确定时，应变分量即完全确定。并且，下述方程适用于所有平面问题，即平面应力问题或者平重应变问题：
$\varepsilon_{x}=\frac{\partial u}{\partial x}, \varepsilon_{y}=\frac{\partial v}{\partial y}, \gamma_{x y}=\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}$

物理方程

平面应力问题的物理方程：
$\left\{\begin{aligned} \varepsilon_{x} &=\frac{1}{E}\left(\sigma_{x}-\mu \sigma_{y}\right) \\ \varepsilon_{y} &=\frac{1}{E}\left(\sigma_{y}-\mu \sigma_{x}\right) \\ \gamma_{x y} &=\frac{2(1+\mu)}{E} \tau_{x y} \end{aligned}\right.$

边界条件

先来看看沿斜面的应力分量表达式：
$\left \{\begin{array}{l} &p_{x}=l \sigma_{x}+m \tau_{y x}\\ &p_{y}=l \tau_{x y}+m \sigma_{y}\\ &l=\cos (n, x), m=\cos (n, y) \end{array} \right.$
垂直于x 轴的边界上 $(l=\pm 1, m=0)$
$\left(\sigma_{x}\right)_{s}=\pm \bar{f}_{x}(y)~,~\left(\tau_{x y}\right)_{s}=\pm \bar{f_{y}}(y)$
垂直于 $y$ 轴的边界上 $(l=0, m=\pm 1)$
$\left(\sigma_{y}\right)_{s .}=\pm \bar{f}_{y}(x)~,~\left(\tau_{y x}\right)_{s}=\pm \bar{f}_{x}(x)$