Word2Vec中的数学原理

一、旧版本的神经网络表示词向量

神经网络语言模型.png

将每个词表示成mm维的向量，用v(w)v(w)表示，整个网络分为4层，分别为输入层，投影层，隐藏层，输出层。
输入层：取一个大小为n的窗口表示输入，用1~(n-1)个词来预测第n个词的生成概率。
投影层：将每个词映射为m维向量，将这些词向量拼接为一个(n-1)m的长向量，作为投影层。一开始的向量随机生成，最后根据训练得到最优结果。
隐藏层：隐藏层的节点根据需要可以进行调节
输出层：N维向量，表示预测为每个词的概率
前向传播的表达式为：？？?这里不是很懂

前向传播表达式.png

其中，输出表示由前面(n-1)各词，预测第n个词的概率，即

根据1~(n-1)个词，来预测第n个词的生成概率.png

二、huffman树及huffman编码

2.1 Huffman树的构造

根据词典每个词作为叶子节点，词的频次作为叶子节点的权重，向上构造huffman树，具体为：
　　　　1）将词典的N个词，看成N棵树的森林
　　　　2）将“根节点权值“最小的两棵树合并成一棵新树，原来的树视为新树的左右子树，新树的“根节点权值”为左右子树的“根节点权值”之和
　　　　3）重复2），直到森林中只剩下一棵树
整个Huffman树构建完成以后，叶节点的个数为N（词典大小），非叶节点的个数为N-1
以“我”，“喜欢”，“观看”，“巴西”，“足球”，“世界杯”为例，这组词的词频为：15,8,6,5,3,1

huffman树构造过程.png

2.2 Huffman编码

对于一棵Huffman树，规定左子节点标记为1，右子节点标记为0，每个词的路径（根节点除外）对应的编码称为该词的Huffman编码，如：我——0，喜欢——111，观看——110，巴西——101，足球——1001，世界杯——1000。huffuman编码原先是用在数字通信领域，希望整段文本的编码长度越小越好，因此构建huffuman树，使得词频越多的字编码越短，词频越少的字编码越长。

huffman编码.png

三、基于huffuman softmax的模型

3.1 W2V的两种模型：CBOW和Skip-gram

W2V有两种模型，分别为CBOW和skip-gram，CBOW是根据上下文context(w)context(w)来预测中间词ww，而skip-gram是根据中间词ww来预测上下文context(w)context(w) ；他们都有3层结构——输入层，投影层，输出层。（注：无隐藏层）

两种模型.png

3.2 基于huffuman的CBOW

3.2.1 网络结构

H_CBOW的网络结构有3层，分别为输入层，投影层，输出层；以样本(context(w),w)(context(w),w)为例，做简要说明。
输入层：上下文的2c个词的词向量（假设上文和下文分别为c各词，实际上具体实现有小改变）

投影层：将这个2c个向量直接求和，

输出层：对应一棵huffuman树，它以词典中的词为叶节点，以词出现的次数为叶节点的权重来构建；其中叶节点的个数为N，非叶节点的个数为(N-1)；每个非叶节点对应一个二分类器

CBOW网络结构示意图.png

注：在以往的神经网络语言模型中，计算量高的地方在输出层矩阵运算和概率归一化，CBOW对此作出了两点改进：1、无隐藏层，输入层直接向量求和进行投影；2、输出层改为huffuman树，将原来的softmax线性搜索求极大（多分类），转化为求树的正确路径（多个二分类），大大减少计算量。

3.2.2 符号定义

参数计算.png

这里有一点需要比较注意的，hufuuman编码左边为1，右边为0；但二分类的类别相反，左边为负，右边为正。

3.2.3 目标函数的推导

给定一个词的context(w)，预测生成目标词w概率，相当于沿着huffuman树进行搜索，每经过一个内部节点，就进行一次二分类并生成一个概率，将路径上的所有概率连乘起来，就表示生成目标词w的概率；（分类时，规定分到左边为负类，huffuman编码为1；分到右边为正类，huffuman编码为0,这里有点不懂？？）
因此，对于目标单词w的条件概率为：