邻接矩阵

考虑到图是由顶点和边或弧两部分组成。合在一起比较困难，那就很自然地考虑到分两个结构来分别存储。顶点不分大小、主次，所以用一个一维数组来存储是很不错的选择。而边或弧由于是顶点与顶点之间的关系，一维搞不定，那就考虑用一个二维数组来存储。于是我们的邻接矩阵的方案就诞生了。

图的邻接矩阵（Adjacency Matrix）存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组（称为邻接矩阵）存储图中的边或弧的信息。

设图G有n个顶点，则邻接矩阵是一个n×n的方阵，定义为：

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我们来看一个实例，下图的左图就是一个无向图。

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我们可以设置两个数组，顶点数组为ver-tex[4]={v0,v1,v2,v3}，边数组arc[4][4]为上图右图这样的一个矩阵。简单解释一下，对于矩阵的主对角线的值，即arc[0][0]、arc[1][1]、arc[2][2]、arc[3][3]，全为0是因为不存在顶点到自身的边，比如v0到v0。arc[0][1]=1是因为v0到v1的边存在，而arc[1][3]=0是因为v1到v3的边不存在。并且由于是无向图，v1到v3的边不存在，意味着v3到v1的边也不存在。所以无向图的边数组是一个对称矩阵。

嗯？对称矩阵是什么？忘记了不要紧，复习一下。所谓对称矩阵就是n阶矩阵的元满足aij=aji，（0≤i,j≤n）。即从矩阵的左上角到右下角的主对角线为轴，右上角的元与左下角相对应的元全都是相等的。

有了这个矩阵，我们就可以很容易地知道图中的信息。

我们要判定任意两顶点是否有边无边就非常容易了。
我们要知道某个顶点的度，其实就是这个顶点vi在邻接矩阵中第i行（或第i列）的元素之和。比如顶点v1的度就是1+0+1+0=2。
求顶点vi的所有邻接点就是将矩阵中第i行元素扫描一遍，arc[i][j]为1就是邻接点。

我们再来看一个有向图样例，如下图所示的左图。

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顶点数组为vertex[4]={v0,v1,v2,v3}，弧数组arc[4][4]为上图右图这样的一个矩阵。主对角线上数值依然为0。但因为是有向图，所以此矩阵并不对称，比如由v1到v0有弧，得到arc[1][0]=1，而v0到v1没有弧，因此arc[0][1]=0。

有向图讲究入度与出度，顶点v1的入度为1，正好是第v1列各数之和。顶点v1的出度为2，即第v1行的各数之和。

与无向图同样的办法，判断顶点vi到vj是否存在弧，只需要查找矩阵中arc[i][j]是否为1即可。要求vi的所有邻接点就是将矩阵第i行元素扫描一遍，查找arc[i][j]为1的顶点。

网的存储

每条边上带有权的图叫做网。那么这些权值就需要存下来，如何处理这个矩阵来适应这个需求呢？我们有办法。

设图G是网图，有n个顶点，则邻接矩阵是一个n×n的方阵，定义为：

这里wij表示（vi,vj）或<vi,vj>上的权值。∞表示一个计算机允许的、大于所有边上权值的值，也就是一个不可能的极限值。有同学会问，为什么不是0呢？原因在于权值wij大多数情况下是正值，但个别时候可能就是0，甚至有可能是负值。因此必须要用一个不可能的值来代表不存在。如下图左图就是一个有向网图，右图就是它的邻接矩阵。

image-20200508084844794

那么邻接矩阵是如何实现图的创建的呢？我们先来看看图的邻接矩阵存储的结构，代码如下。

/* 顶点类型应由用户定义 */
typedef char VertexType;             
/* 边上的权值类型应由用户定义 */
typedef int EdgeType;                
/* 最大顶点数，应由用户定义 */
#define MAXVEX 100                   
/* 用65535来代表∞ */
#define INFINITY 65535               
typedef struct
{
    /* 顶点表 */”
        VertexType vexs[MAXVEX];         
    /* 邻接矩阵，可看作边表 */
    EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX];    
    /* 图中当前的顶点数和边数 */
    int numVertexes, numEdges;       
} MGraph;

有了这个结构定义，我们构造一个图，其实就是给顶点表和边表输入数据的过程。我们来看看无向网图的创建代码。

“/* 建立无向网图的邻接矩阵表示 */
void CreateMGraph(MGraph *G)
{
    int i, j, k, w;
    printf("输入顶点数和边数:\n");
    /* 输入顶点数和边数 */
    scanf("%d,%d", &G->numVertexes, &G->numEdges);    
    /* 读入顶点信息，建立顶点表 */
    for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)              
        scanf(&G->vexs[i]);
    for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)
        for (j = 0; j <G->numVertexes; j++)
            /* 邻接矩阵初始化 */
            G->arc[i][j] = INFINITY;                  
    /* 读入numEdges条边，建立邻接矩阵 */
    for (k = 0; k < G->numEdges; k++)                 
    {
        printf("输入边(vi,vj)上的下标i，下标j和权w:\n");
        /* 输入边(vi,vj)上的权w */
        scanf("%d,%d,%d", &i, &j, &w);                
        G->arc[i][j] = w;
        /* 因为是无向图，矩阵对称 */
        G->arc[j][i] = G->arc[i][j];                  
    }
}

从代码中也可以得到，n个顶点和e条边的无向网图的创建，时间复杂度为O(n+n2+e)，其中对邻接矩阵G.arc的初始化耗费了O(n2)的时间。

邻接表

邻接矩阵是不错的一种图存储结构，但是我们也发现，对于边数相对顶点较少的图，这种结构是存在对存储空间的极大浪费的。比如说，如果我们要处理下图这样的稀疏有向图，邻接矩阵中除了arc[1][0]有权值外，没有其他弧，其实这些存储空间都浪费掉了。

image-20200508090023363

邻接表的处理办法是这样。

图中顶点用一个一维数组存储，当然，顶点也可以用单链表来存储，不过数组可以较容易地读取顶点信息，更加方便。另外，对于顶点数组中，每个数据元素还需要存储指向第一个邻接点的指针，以便于查找该顶点的边信息。
图中每个顶点vi的所有邻接点构成一个线性表，由于邻接点的个数不定，所以用单链表存储，无向图称为顶点vi的边表，有向图则称为顶点vi作为弧尾的出边表。

例如下图所示的就是一个无向图的邻接表结构。

image-20200508090445986

从图中我们知道，顶点表的各个结点由data和firstedge两个域表示，data是数据域，存储顶点的信息，firstedge是指针域，指向边表的第一个结点，即此顶点的第一个邻接点。边表结点由adjvex和next两个域组成。adjvex是邻接点域，存储某顶点的邻接点在顶点表中的下标，next则存储指向边表中下一个结点的指针。比如v1顶点与v0、v2互为邻接点，则在v1的边表中，adjvex分别为v0的0和v2的2。

这样的结构，对于我们要获得图的相关信息也是很方便的。比如我们要想知道某个顶点的度，就去查找这个顶点的边表中结点的个数。若要判断顶点vi到vj是否存在边，只需要测试顶点vi的边表中adjvex是否存在结点vj的下标j就行了。若求顶点的所有邻接点，其实就是对此顶点的边表进行遍历，得到的adjvex域对应的顶点就是邻接点。

若是有向图，邻接表结构是类似的，比如下图中第一幅图的邻接表就是第二幅图。但要注意的是有向图由于有方向，我们是以顶点为弧尾来存储边表的，这样很容易就可以得到每个顶点的出度。但也有时为了便于确定顶点的入度或以顶点为弧头的弧，我们可以建立一个有向图的逆邻接表，即对每个顶点vi都建立一个链接为vi为弧头的表。如下图的第三幅图所示。

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此时我们很容易就可以算出某个顶点的入度或出度是多少，判断两顶点是否存在弧也很容易实现。

对于带权值的网图，可以在边表结点定义中再增加一个weight的数据域，存储权值信息即可，如下图所示：

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有了这些结构的图，下面关于结点定义的代码就很好理解了。

/* 顶点类型应由用户定义 */
typedef char VertexType;          
/* 边上的权值类型应由用户定义 */
typedef int EdgeType;             
/* 边表结点 */
typedef struct EdgeNode           
{
    /* 邻接点域，存储该顶点对应的下标 */
    int adjvex;                   
    /* 用于存储权值，对于非网图可以不需要 */
    EdgeType weight;              
    /* 链域，指向下一个邻接点　 */
    struct EdgeNode *next;        
} EdgeNode;
/* 顶点表结点 */
typedef struct VertexNode         
{
    /* 顶点域，存储顶点信息 */
    VertexType data;              
    /* 边表头指针 */
    EdgeNode *firstedge;          
} VertexNode, AdjList[MAXVEX];
typedef struct
{
    AdjList adjList;
    /* 图中当前顶点数和边数 */
    int numVertexes, numEdges;    
} GraphAdjList;

对于邻接表的创建，也就是顺理成章之事。无向图的邻接表创建代码如下。

/* 建立图的邻接表结构 */
void  CreateALGraph(GraphAdjList *G)
{
    int i, j, k;
    EdgeNode *e;
    printf("输入顶点数和边数:\n");
    /* 输入顶点数和边数 */
    scanf("%d,%d", &G->numVertexes, &G->numEdges);    
    /* 读入顶点信息，建立顶点表 */”
      for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)              
    {
        /* 输入顶点信息 */
        scanf(&G->adjList[i].data);                   
        /* 将边表置为空表 */
        G->adjList[i].firstedge = NULL;               
    }
    /* 建立边表 */
    for (k = 0; k < G->numEdges; k++)                 
    {
        printf("输入边(vi,vj)上的顶点序号:\n");
        /* 输入边(vi,vj)上的顶点序号 */
        scanf("%d,%d", &i, &j);                       
        /* 向内存申请空间， */
        /* 生成边表结点 */
        e = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));     
        /* 邻接序号为j */
        e->adjvex = j;                                
        /* 将e指针指向当前顶点指向的结点 */
        e->next = G->adjList[i].firstedge;            
        /* 将当前顶点的指针指向e */
        G->adjList[i].firstedge = e;                  
        /* 向内存申请空间， */
        /* 生成边表结点 */
        e = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));     
        /* 邻接序号为i */
        e->adjvex = i;                                
        /* 将e指针指向当前顶点指向的结点 */
        e->next = G->adjList[j].firstedge;            
        /* 将当前顶点的指针指向e */
        G->adjList[j].firstedge = e;                  
    }
}

由于对于无向图，一条边对应都是两个顶点，所以在循环中，一次就针对i和j分别进行了插入。本算法的时间复杂度，对于n个顶点e条边来说，很容易得出是O(n+e)。

十字链表

那么对于有向图来说，邻接表是有缺陷的。关心了出度问题，想了解入度就必须要遍历整个图才能知道，反之，逆邻接表解决了入度却不了解出度的情况。有没有可能把邻接表与逆邻接表结合起来呢？答案是肯定的，就是把它们整合在一起。这就是我们现在要讲的有向图的一种存储方法：十字链表（Orthogonal List）。

我们重新定义顶点表结点结构如下表所示。

data	firstin	firstout

firstin表示入边表头指针，指向该顶点的入边表中第一个结点。
firstout表示出边表头指针，指向该顶点的出边表中的第一个结点。

重新定义的边表结点结构如下图所示。

image-20200508101123551

tailvex是指弧起点在顶点表的下标。
headvex是指弧终点在顶点表中的下标。
headlink是指入边表指针域，指向终点相同的下一条边。
taillink是指边表指针域，指向起点相同的下一条边。
如果是网，还可以再增加一个weight域来存储权值。

比如下图，顶点依然是存入一个一维数组{v0,v1,v2,v3}，实线箭头指针的图示完全与下图的邻接表相同。就以顶点v0来说，firstout指向的是出边表中的第一个结点v3。所以v0边表结点的headvex=3，而tailvex其实就是当前顶点v0的下标0，由于v0只有一个出边顶点，所以headlink和taillink都是空。

image-20200508101324120

我们重点需要来解释虚线箭头的含义，它其实就是此图的逆邻接表的表示。对于v0来说，它有两个顶点v1和v2的入边。因此v0的firstin指向顶点v1的边表结点中headvex为0的结点，如图上右图中的①。接着由入边结点的headlink指向下一个入边顶点v2，如图中的②。对于顶点v1，它有一个入边顶点v2，所以它的firstin指向顶点v2的边表结点中headvex为1的结点，如图中的③。顶点v2和v3也是同样有一个入边顶点，如图中④和⑤。

邻接多重表

重新定义的边表结点结构如下图所示。

image-20200510133411275

ivex和jvex是与某条边依附的两个顶点在顶点表中的下标。
ilink指向依附顶点ivex的下一条边，jlink指向依附顶点jvex的下一条边。

如下图所示，左图告诉我们它有4个顶点和5条边，显然，我们就应该先将4个顶点和5条边的边表结点画出来。由于是无向图，所以ivex是0、jvex是1还是反过来都是无所谓的，不过为了绘图方便，都将ivex值设置得与一旁的顶点下标相同。

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如下图。首先连线的①②③④就是将顶点的firstedge指向一条边，顶点下标要与ivex的值相同，

这很好理解。接着，由于顶点v0的(v0,v1)边的邻边有(v0,v3)和(v0,v2)。因此⑤⑥的连线就是满足指向下一条依附于顶点v0的边的目标，注意ilink指向的结点的jvex一定要和它本身的ivex的值相同。

同样的道理，连线⑦就是指(v1,v0)这条边，它是相当于顶点v1指向(v1,v2)边后的下一条。v2有三条边依附，所以在③之后就有了⑧⑨。

连线⑩的就是顶点v3在连线④之后的下一条边。左图一共有5条边，所以右图有10条连线，完全符合预期。

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边集数组

边集数组是由两个一维数组构成。一个是存储顶点的信息；另一个是存储边的信息，这个边数组每个数据元素由一条边的起点下标（begin）、终点下标（end）和权（weight）组成，如下图所示。显然边集数组关注的是边的集合，在边集数组中要查找一个顶点的度需要扫描整个边数组，效率并不高。因此它更适合对边依次进行处理的操作，而不适合对顶点相关的操作。

image-20200510135843534

定义的边数组结构如下表所示。

begin	end	weight

begin是存储起点下标。
end是存储终点下标。
weight是存储权值。

数据结构与算法-图的存储