书名：大宇之形（第一推动丛书·宇宙系列）
作者：丘成桐 史蒂夫·纳迪斯
译者：翁秉仁,赵学信
出版社：湖南科学技术出版社
出版时间：2018-09-01
ISBN：9787535794482
一、练手
但是即使已经具备了这些工具，仍然有许多准备工作要做。第一道难关，是在此之前，除了复一维的情形外，还没有任何人解过复系数蒙日—安培方程。就像登山者不断挑战更高的山岳，丘成桐则是向更高维挑战。为了培养攻克高维蒙日—安培方程的实力（它们有多么非线性是不消说的），丘成桐和他的朋友郑绍远开始研究某些高维的题目，先从实数的情况着手，然后再对付更难的复方程。
首先找上的是闵可夫斯基在19世纪与20世纪之交所提出的著名难题。闵可夫斯基问题涉及先取一些预设信息为条件，然后判定符合这些条件的结构是否存在。以一个简单多面体为例，当你检视这样的结构时，可以借由其面数、边数和尺寸来刻画它。而闵可夫斯基问题则是反过来问：如果被告知面的形状、面积、数目和方向，你能否判定有没有符合这些条件的多面体？若有的话，是否唯一？
实际的闵可夫斯基问题的范围更广，因为它适用于任意的凸面（convex surface），而不只是多面体。其中各面的方向条件，则改用曲面各点的指定曲率来取代，而这些曲率则是各点的法向量（normal vector）所对应的函数值，这相当于描述曲面各点所指的方向。然后你可以问，具有上述指定曲率的物体是否存在。
将问题这样表述的一大好处，是问题不再以纯几何的形式来呈现，它也可以写成偏微分方程。纽约大学理工学院的鲁特维克（Erwin Lutwak）解释说：“如果能解出这个几何问题，附带还可以得到一项大礼：你同时也解决了一个可怕的偏微分方程。几何和偏微分方程之间的交互关系，是这个问题如此重要的原因之一。”
二、连续法
郑绍远和丘成桐找到一个方法来解这题，论文在1976年发表。总结起来，关键在于解一个先前无人解过的复非线性偏微分方程。
关于如何处理非线性偏微分方程，却已有一套明确的既定程序，称为“连续法”（continuity method），这是一种采取一连串估计的方法。
方法本身并不新奇，诀窍在于能制定出一套对于手上问题特别有效的策略。连续法的基本想法是通过一次次愈来愈准确的估计来逐渐逼近解答。证明的本质在于论证经过足够多次的迭代之后，这个过程可以收敛到一个良好的解。如果一切顺利，最后你得到的，仍然不会是可以作为解而写下来的明确算式，而只是证明出该方程的解的确存在。就卡拉比猜想以及与它同性质的问题而言，证明某一偏微分方程有解，就等于几何里的存在性证明，说明给定某一“拓扑”条件，则合乎该条件的特定几何形体确实存在。不过这也并不表示你只证明了有解，却对解一无所知。因为你证明解存在的方案，可以转化成运用电脑计算来逼近答案的数值技巧。
连续法这个名称的由来，是因为它从已知如何解的方程的解开始，然后将这个解连续不断地变形，直到得出你想求解的方程的解才结束。这个用于卡拉比猜想证明的程序，通常分为两部分，其中之一只在已知解的附近才有用。
三、例子
假设你想求方程式f（x）=x2-x的根（想象我们不会直接解这个方程）。一开始我们可以试试x=2，得到的是f（2）=2，而不是0。不管怎样，2虽然不是x2-x=0的根，但至少2是类似方程x2-x=2的根。接下来，我写出一组以t为参数的方程x2-x=2t。我知道当t=1时的解是2，但我真正想解的是t=0的情形，也就是原始方程式x2-x=0。所以我该怎么做？观察参数t。我已经知道t=1时方程式解是2，若把t稍微挪一下，使得它不是1但仍很接近1，会发生什么事呢？我们可以猜测当t接近1时，x2-x=2t会有一个解在2附近。这个假定在大多数情形下都成立，这就表示，当t接近1时，我们可以解出这个方程。
现在我把t渐渐变小，往0靠近，使得我们接近原来的方程式。在过程中，我不但不断把t变小，而且还确定对于所送的每个t值，都可以找到一个解。所以对这一系列愈来愈小的参数t，相对应的就有一系列解，在此将其统称为xi。这项操作的重点在于证明数列xi最后会收敛到某一特定值。要做到这点，我们必须先论证xi是有界的，不会跑到无穷大去，这是因为任何有界的数列至少其中某个部分数列必定会收敛。证明了xi收敛，等价于证明我们可以从t=1一路减少至0，途中不会碰到任何阻碍。若能做到这点，就表示方程式在t=0是可解的，因此就证明了本来的方程式x2-x=0必定有解。
这正是丘成桐用来证明卡拉比猜想的论证方法，关键之一在于能够证明xi是个会收敛的数列。当然，在处理卡拉比猜想时，起始的方程式远比x2-x=0复杂许多。在这个情况里，方程解xi，并不是数而是函数，这大幅增加了证明的复杂度，因为函数的收敛性几无例外，总是非常难证明的。
再次把一个大题目分割成几个小问题。卡拉比猜想的方程是二阶椭圆型方程，要解这样的方程，我们必须先求出其零阶、一阶、二阶和三阶估计。一旦完成这些估计，并证明它们收敛到想要的解答，也就证明完了整个猜想。不过，事情总是说来容易做来难，因为求出这四个估计绝非易事，否则也就不叫研究了。
