复变函数一般表示为。
如果函数
在点
z的某个邻域内处处可导, 则称z解析。
如果D内的每一点都解析, 则称D内的解析函数, 或称D内解析。
解析函数也叫全纯函数或正则函数。
复变函数的定义域一般是整个复平面，也就是整个平面上。所以要让复变函数可导，需要它从各个方向过去都可导。而单变量实函数的定义域是一根实轴，只要从左右两个方向可导就可以：这是它们的区别！
解析函数的解析区域边界点（如果存在）称为其奇点。
要寻找函数可导的充要条件，首先会想到如果其实部虚部分别可导是否足够。很遗憾，它们不等价：
反例：
是否可导？
对平面上的任意一点z, 有，
可以看到结果跟趋近方向有关：当水平趋近时，，结果是1；竖向趋近时是-1，所以处处不可导。但它的实部虚部都可导。
柯西黎曼方程
如果可导，设
在点
处可导，即
，
令，
，
其中，
。
则。
当从实轴趋向0时，
，
当从虚轴轴趋向0时，
，
因为可导，所以上面两个结果的实部虚部分别相等，即
柯西黎曼方程
这个就是柯西黎曼方程，简写C-R方程。
反过来：是否满足柯西黎曼方程就可导呢？估计大家能猜出来：不行：
反例：函数
在z=0处是否可导？
可以证明，在原点处的两个偏导都是0，所以满足C-R方程。
但是0点的导数并不存在，可以令，则
，
所以趋向零点的方向角度不同结果可能就不同，因此不可导。
解析函数的充要条件
上面已经看到函数可导的必要条件是实部虚部都可微（即偏导存在且连续）且符合C-R方程。
这个也是它的充分条件！
设函数
，假设其在点
处实部和虚部都可导，且满足
。根据二元函数微分定义，可以证明其导数存在。
下面是一些复合复变函数求导法则：
设
在
z处可导，则
