复变函数一般表示为 $f(z)=u(x,y)+\text{i}v(x,y)$ 。

如果函数 $f(z)$ 在点z的某个邻域内处处可导, 则称 $f(z)$ 在点z解析。
如果 $f(z)$ 在区域D内的每一点都解析, 则称 $f(z)$ 是D内的解析函数, 或称 $f(z)$ 在D内解析。
解析函数也叫全纯函数或正则函数。

复变函数的定义域一般是整个复平面，也就是整个平面上。所以要让复变函数可导，需要它从各个方向过去都可导。而单变量实函数的定义域是一根实轴，只要从左右两个方向可导就可以：这是它们的区别！

解析函数的解析区域边界点（如果存在）称为其奇点。

要寻找函数可导的充要条件，首先会想到如果其实部虚部分别可导是否足够。很遗憾，它们不等价：

反例： $f(z)=\bar{z}$ 是否可导？
对平面上的任意一点z, 有 $\frac{\overline{z+\Delta{z}}-\bar z}{\Delta z}=\frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z}=\frac{\Delta x - \text{i}\Delta y}{\Delta x +\text{i}\Delta y}$ ，
可以看到结果跟趋近方向有关：当水平趋近时， $\Delta y=0$ ，结果是1；竖向趋近时是-1，所以处处不可导。但它的实部虚部都可导。

柯西黎曼方程

如果 $f(z)$ 可导，设 $f(z)=u(x,y)+\text{i}v(x,y)$ 在点 $z=x+\text{i}y$ 处可导，即 $f'(z)=\lim_{\Delta z\rightarrow 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}$ ，
令 $\Delta z = \Delta x + \text{i}\Delta y$ ， $f(z+\Delta z)-f(z)=\Delta u + \text{i}\Delta v$ ，
其中 $\Delta u = u(x+\Delta x, y+\Delta y)-u(x,y)$ ， $\Delta v=v(x+\Delta x, y+\Delta y)-v(x,y)$ 。
则 $f'(z)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0,\Delta y\rightarrow 0}\frac{\Delta u + \text{i}\Delta v}{\Delta x + \text{i}\Delta y}$ 。

当 $\Delta z$ 从实轴趋向0时， $f'(z)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0,\Delta y=0}\frac{\Delta u + \text{i}\Delta v}{\Delta x + \text{i}\Delta y}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta u + \text{i}\Delta v}{\Delta x }=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta u}{\Delta x}+\text{i}\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta v}{\Delta x}=u_x+\text{i} v_x$ ，
当 $\Delta z$ 从虚轴轴趋向0时， $f'(z)=\lim_{\Delta \rightarrow 0,\Delta x=0}\frac{\Delta u + \text{i}\Delta v}{\Delta x + \text{i}\Delta y}=\lim_{\Delta y \rightarrow 0}\frac{\Delta u + \text{i}\Delta v}{\text{i}\Delta y }=\lim_{\Delta y \rightarrow 0}-\text{i}\frac{\Delta u}{\Delta y}+\lim_{\Delta y \rightarrow 0}\frac{\Delta v}{\Delta y}=-\text{i}u_y+v_y$ ，
因为 $f(z)$ 可导，所以上面两个结果的实部虚部分别相等，即

柯西黎曼方程

这个就是柯西黎曼方程，简写C-R方程。

反过来：是否满足柯西黎曼方程就可导呢？估计大家能猜出来：不行：

反例：函数 $f(z)=\sqrt{|xy|}$ 在z=0处是否可导？
可以证明，在原点处的两个偏导都是0，所以满足C-R方程。
但是0点的导数并不存在，可以令 $\Delta z = \Delta r e^{\text{i}\theta}$ ，则 $\frac{f(0+\Delta z)-f(0)}{\Delta z}=\frac{\sqrt{|\Delta r \cos \theta \cdot \Delta r \sin \theta|}}{\Delta r e^{\text{i}\theta}}=\frac{\sqrt{| \cos \theta \cdot \sin \theta|}}{e^{\text{i}\theta}}$ ，
所以趋向零点的方向角度不同结果可能就不同，因此不可导。

解析函数的充要条件

上面已经看到函数可导的必要条件是实部虚部都可微（即偏导存在且连续）且符合C-R方程。
这个也是它的充分条件！

设函数 $f(z)=u(x,y)+\text{i}v(x,y)$ ，假设其在点 $z=x+\text{i}y$ 处实部和虚部都可导，且满足 $u_x=v_y, v_x=-u_y$ 。根据二元函数微分定义，可以证明其导数存在。

下面是一些复合复变函数求导法则：

设 $f(z)$ 和 $g(z)$ 在z处可导，则
$[f(z)+g(z)]'=f'(z)+g'(z)$
$[f(z)g(z)]'=f'(z)g(z)+f(z)g'(z)$
$[\frac{f(z)}{g(z)}]'=\frac{f'(z)g(z)-f(z)g'(z)}{g^2(z)}, g(z)\neq 0$

复解析函数的充要条件与柯西黎曼方程

复解析函数的充要条件与柯西黎曼方程

柯西黎曼方程

解析函数的充要条件

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