汤家凤基础班文都教学视频第一节讲义

高等数学^[1]

汤家凤基础班文都教学视频第一节讲义

以下为笔者学了Markdown之后尝试将汤老师的讲义输出为电子版的部分,仅为学习分享之用,同学们加油

高数上:极限,一元微积分,一元积分学
高数下:多元微积分,二重积分,微分方程

第一章函数与极限

§ 1.1 函数

一定义

函数-- x , y 为两个变量 ( x $\in$ D ) , 若对任意 x $\in$ D , 若存在唯一确定的 y 与 x 对应 , 称 y 为 x 的函数 , 记为 $y=f(x)$ .

NOTE:

$\forall$ - forall , 任意的 , 所有的

$\exists$ - exists, 存在

$\exists$ 1 - 存在唯一

D - 定义域

$R=\{ y|y=f(x),x\in D \}$ - 值域

例1:
$y=sgn x= \begin{cases} -1, &\mbox x<0\\ 0 , &\mbox x=0\\ 1,&\mbox x>0 \end{cases}$
例2:
$y=D(x)= \begin{cases} 1,&\mbox x\in Q (有理数)\\ 0,&\mbox x\in R|Q(无理数) \end{cases}$
例3:
$y=[x] \qquad 左取整\\ 如: [ \sqrt2] =1, [-0.3]=-1,[3]=3.$

NOTE:
$\begin{align} &[x] \leq x\\ &[x + y] \neq [x] + [y]\\ &当 K \in Z (整数) [x+k] =[x]+k \end{align}$

反函数 $y=f(x) (x\in D)$ 严格单调， $y=f(x) \Rightarrow x=\varphi (x)$ 反函数 , 不调换x , y

例4. 求 $y= ln(x+\sqrt{x^2+1})$ 的反函数

基本初等函数
1. $x^a$ 幂函数
2. $a^x$ 指数函数
3. $loga^x (a>0且a \neq 1)$ 对数函数
4. $sinx , cosx, tanx , cotx ,secx ,scsx$ 三角函数
5. $arcsinx,arccosx,arctanx,arccotx$ 反三角函数
初等函数-- 由常数与基本初等函数经四则运算或复合运算而成的式子

二初等性质

1.奇偶性
$\begin{align} &y=f(x)(x\in D),D 关于原点对称\\ &if \forall x \in D , 有f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数\\ &if \forall x \in D , 有f(-x)=f(x),f(x)为偶函数 \end{align}$
2.单调性
$\begin{align} &y=f(x)(x\in D)\\ &if \forall x_1,x_2 \in D且x_1<x_2,有f(x_1)<f(x_2),称f(x)在D上严格单调递增\\ &if \forall x_1,x_2 \in D且x_1<x_2,有f(x_1)>f1(x_2),称f(x)在D上严格单调递减 \end{align}$

3.有界性
$\begin{align} &y=f(x)(x\in D)\\ &if \exists M>0,\forall x\in D ,有|f(x)|\leq M, 称f(x)在D上有界 \end{align}$

NOTE:
$if \forall x\in D ,f(x)\geq M_1,有下界\\ if \forall x\in D ,f(x)\leq M_2,有上界\\ 有界 \Leftrightarrow 有上下界$

4.周期性
$\begin{align} &y=f(x)(x\in D)\\ &if \exists T>0,使\forall (x+T\in D) ,有|f(x+T)|= f(x), 称f(x)为周期函数 \end{align}$

§1.2 数列极限

一定义

$\begin{align} &如:a_n=\frac{n+1}{2n}:1,\frac{3}{4},\frac{2}{3},\frac{5}{8},...;an\to \frac{1}{2}\\ &取 \epsilon = \frac{1}{10} >0 ,|a_n - \frac{1}{2}|=\frac{1}{2n}<1/10 \Leftrightarrow n>5\\ &取 \epsilon = \frac{1}{100} >0 ,|a_n - \frac{1}{2}|=\frac{1}{2n}<1/100 \Leftrightarrow n>50\\ & n\to \infty,a_n \to \frac{1}{2n} \\ &(\epsilon - N) 设\{a_n\}为数列,A-常数\\ &if \forall \varepsilon >0,\exists N>0,当n>N时,|a_n-A|<\varepsilon,\lim\limits_{n\to \infty}a_n =A 或a_n \to A(n\to \infty)\\ &如:\lim_{n\to \infty}\frac{n+1}{n}=1,但 \frac{n+1}{n}\neq 1. \end{align}$

例1. 证明 $\lim\limits_{n\to \infty}\frac{n+1}{n}=1$

例2.证明: $\lim\limits_{n\to \infty}\frac{n-1}{2n}=\frac{1}{2}$

汤家凤基础班文都教学视频 ↩

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 216,372评论 6赞 498
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 92,368评论 3赞 392
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 162,415评论 0赞 353
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 58,157评论 1赞 292
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 67,171评论 6赞 388
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 51,125评论 1赞 297
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 40,028评论 3赞 417
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 38,887评论 0赞 274
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 45,310评论 1赞 310
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 37,533评论 2赞 332
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 39,690评论 1赞 348
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 35,411评论 5赞 343
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 41,004评论 3赞 325
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 31,659评论 0赞 22
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 32,812评论 1赞 268
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 47,693评论 2赞 368
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 44,577评论 2赞 353

汤家凤基础班文都教学视频 第一节讲义

高等数学[1]

第一章 函数与极限

§ 1.1 函数

一 定义

二 初等性质

§1.2 数列极限

一 定义

推荐阅读更多精彩内容

汤家凤基础班文都教学视频第一节讲义

高等数学^[1]

第一章函数与极限

一定义

二初等性质

一定义