圆周率整数倍的小数部分

2024.12.29 Sunday @BJ

期末了，整理微积分备课笔记时看到给学生出的两个思考题：

考虑函数 $f(x)=4x(1-x)$ ，初值 $x_0=0.1$ ，以及数列 $x_k=f(x_{k-1})$ ，数列在区间 $[0,1]$ 中是稠密的。
考虑圆周率的整数倍的小数部分组成的集合 $A=\{\{n \pi\} | n =1,2,3,...\}$ ，则 $A$ 在区间 $[0,1]$ 中是稠密的。

这两个问题是一些经典问题的特殊情况。问题 1 还可以得到 $(0,1)$ 上的一个分布函数 $\rho(x) = \tfrac{1}{\pi} \tfrac{1}{\sqrt{x(1-x)}}$ ，它在映射 $f$ 下保持不变。问题 2 得到的是均匀的分布。准确地说，这里指的“分布”不是概率论中的概率分布，比如问题 2 得到的是等分布 (equidistribution)。

这里主要说说问题 2。

稠密性容易用抽屉原理来证明。等价的表述是 $\{n \pi + m | n=1,2,3,..., m \in \mathbb{Z}\}$ 在 $\mathbb{R}$ 中稠密，更一般地，高维情形，见 Kronecker Approximation Theorem。

对于等分布性质，知乎上有比较多的回答，其中高赞回答是从遍历论（Birkhoff ergodic theorem）的角度来看等分布性质，显得高大上一些，也有的回答是用本科阶段的知识来证明的，更容易看懂。等分布的定义以及 Weyl's equidistribution theorem 这里就不细说了，只说说用到的关键引理：

引理：若 $f(x)$ 是以 1 为周期的连续函数， $\gamma$ 是无理数，则有下面的极限：

$\lim_{N\to\infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N f(n\gamma) = \int_0^1 f(x) dx. \label{eq}$

这个引理的证明并不复杂，主要用到三角函数版本的 Weierstrass–Stone 逼近定理，即可以用周期为 1 的三角多项式 $P(x)$ 来近似 $f(x)$ ，而引理对于 $f(x)$ 是三角多项式的情形是很容易证明的。比如，对于 $f(x) = e^{i 2\pi kx}, k \neq 0,$ 的情形，有
$\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N f(n\gamma) = \frac{e^{i2\pi k \gamma}}{N}\frac{1-e^{i2\pi k N \gamma}}{1-e^{i2\pi k \gamma}} \to 0=\int_0^1 f(x) dx, \quad 当~ N \to \infty.$
引理中的极限很容易推广成各种各样的形式，比如：
$\lim_{N\to\infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N f(n\gamma + x_0) = \int_0^1 f(x) dx, \quad \forall x_0 \in \mathbb{R}.$
以及高维的情形。下面取 $f: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ 在各坐标方向都以 1 为周期的连续函数来描述高维情形的结果，证明步骤与引理的证明完全一样，只是三角多项式要换成多元三角函多项式。

求和形式

假设矩阵 $A\in\mathbb{R}^{d \times m}$ 的 $d$ 个 $m$ 维行向量与坐标向量一起是有理线性无关的，即：
$条件 1： \quad A^T \mathbf{k} \in \mathbb{Z}^m, \quad \mathbf{k} \in \mathbb{Z}^d \quad 当且仅当 \quad \mathbf{k} = 0,$

则有下面的极限：
$\lim_{N\to\infty} \frac{1}{N^m} \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{Z}^m_N} f( A \mathbf{n} +\mathbf{x}_0) = \int_{[0,1]^d} f(\mathbf{x}) d\mathbf{x}, \quad \forall \mathbf{x}_0 \in \mathbb{R}^d,$

其中求和指标 $\mathbf{n}$ 是 $m$ 维的（列）向量， $\mathbb{Z}^m_N=\{(n_1,...,n_m) | n_i=1,2,...,N\}$ 。

备注：这里对矩阵 $A$ 的行向量而不是列向量施加条件，是由 Fourier 展开的性质决定的。当 $f(\mathbf{x}) = e^{i 2\pi \mathbf{k} \cdot \mathbf{x}}$ 时，有 $f(A\mathbf{n}) = e^{i 2\pi \mathbf{k} \cdot A\mathbf{n}}= e^{i 2\pi A^T \mathbf{k} \cdot \mathbf{n}}$ ，在对 $\mathbf{n}$ 求和的过程中，是把 $A^T \mathbf{k}=:\mathbf{\xi}$ 当做整体，对其各分量独立计算即可。对 $A$ 施加的条件体现在要让 $\mathbf{k} \neq 0$ 时 $1-e^{i2\pi \xi_j} \neq 0$ ，即 $\xi \notin \mathbb{Z}^m$ ，如若不然得话有的 Fourier 系数需要纳入到极限当中。

积分形式

将求和形式中的 $\mathbf{x}_0$ 换成 $\mathbf{x}_0 + A \mathbf{z}, \mathbf{z} \in [0,1]^m$ ，并对 $\mathbf{z}$ 积分，则得到积分形式的极限：
$\lim_{N\to\infty} \frac{1}{N^m} \int_{[0,N]^m} f( A \mathbf{z} +\mathbf{x}_0) d \mathbf{z} = \int_{[0,1]^d} f(\mathbf{x}) d\mathbf{x}, \quad \forall \mathbf{x}_0 \in \mathbb{R}^d.$

需要注意的是，积分形式的结论可以减弱对矩阵 $A$ 的条件，只需要矩阵 $A\in\mathbb{R}^{d \times m}$ 的 $d$ 个 $m$ 维行向量是有理线性无关的，即

$条件 2： \quad A^T \mathbf{k} = 0, \mathbf{k} \in \mathbb{Z}^d \quad 当且仅当 \quad \mathbf{k} = 0.$
显然条件 2 比条件 1 要弱。

可以直接证明满足条件 2 时的积分形式极限，思路还是用三角多项式 $P(\mathbf{x})$ 近似函数 $f(\mathbf{x})$ 。

考虑 $f(\mathbf{x}) = c_{\mathbf{k}} e^{i 2\pi \mathbf{k} \cdot \mathbf{x}}, \mathbf{\xi} = 2\pi A^T \mathbf{k}, \mathbf{k} \in \mathbb{Z}^d$ ，有
$\frac{1}{N^m} \int_{[0,N]^m} f( A \mathbf{z} +\mathbf{x}_0) d \mathbf{z} = c_{\mathbf{k}} e^{i 2\pi \mathbf{k} \cdot \mathbf{x}_0} \frac{1}{N^m} \int_{[0,N]^m} e^{i 2\pi A^T \mathbf{k} \cdot \mathbf{z}}d \mathbf{z} \to c_\mathbf{k} e^{i 2\pi \mathbf{k} \cdot \mathbf{x}_0}\delta(A^T \mathbf{k}).$

（之所以条件 2 就够了，是因为这里的积分只要 $A^T \mathbf{k} \neq0$ 就有上式极限为零，而求和形式中 $A^T \mathbf{k} \neq0$ 并不能保证 $1-e^{i2\pi \xi_j} \neq 0$ ）

由此，若取 $P(\mathbf{x}) = \sum_{\mathbf{k} \in \mathbb{Z}^d, \|\mathbf{k}\| \le K} c_{\mathbf{k}} e^{i 2\pi \mathbf{k} \cdot \mathbf{x}}$ ，根据极限的四则运算规律，将得到
$\lim_{N\to\infty} \frac{1}{N^m} \int_{[0,N]^m} P( A \mathbf{z} +\mathbf{x}_0) d \mathbf{z} = c_0= \int_{[0,1]^d} P(\mathbf{x}) d\mathbf{x}, \quad \forall \mathbf{x}_0 \in \mathbb{R}^d.$

对于任意 $f(\mathbf{x})$ 的情形，对任意 $\varepsilon >0$ ，选取三角多项式 $P$ 使得 $\|P-f\|_{\infty} < \varepsilon/3$ ，以及充分大的 $N$ 使得
$\left| \frac{1}{N^m} \int_{[0,N]^m} P( A \mathbf{z} +\mathbf{x}_0) d \mathbf{z} - \int_{[0,1]^d} P(\mathbf{x}) d\mathbf{x} \right| < \varepsilon/3, \quad \forall \mathbf{x}_0 \in \mathbb{R}^d.$

然后有
$\left| \frac{1}{N^m} \int_{[0,N]^m} P( A \mathbf{z} +\mathbf{x}_0) d \mathbf{z} - \frac{1}{N^m} \int_{[0,N]^m} f( A \mathbf{z} +\mathbf{x}_0) d \mathbf{z} \right| < \varepsilon/3, \quad \forall \mathbf{x}_0 \in \mathbb{R}^d, \\ \left| \int_{[0,1]^d} P(\mathbf{x}) d\mathbf{x} - \int_{[0,1]^d} f(\mathbf{x}) d\mathbf{x} \right| < \varepsilon/3.$
从而有
$\left| \frac{1}{N^m} \int_{[0,N]^m} f( A \mathbf{z} +\mathbf{x}_0) d \mathbf{z} - \int_{[0,1]^d} f(\mathbf{x}) d\mathbf{x} \right| < \varepsilon/3 + \varepsilon/3 + \varepsilon/3 = \varepsilon.$
这样就得到了所要的极限。

上面的推导不仅证明了极限的收敛性，还可以用来估计误差，本质上是考察周期函数的 Fourier 级数。

备注：等式左边的函数 $f( A \mathbf{z} +\mathbf{x}_0)$ 关于 $\mathbf{z}$ 不一定是周期函数，但一定是拟周期函数。两个周期函数相加不一定是周期函数，但两个拟周期函数相加依然是拟周期函数。

例 1：取 $A = [1, \sqrt{2}]^T \in \mathbb{R}^{2 \times 1}$ , $f(\mathbf{x}) = \sin^2(2\pi (2x_1 - x_2)), \mathbf{x}_0=0$ ，则有
$\lim_{N\to\infty} \frac{1}{N} \int_0^N f(Az) d z = \lim_{N\to\infty} \frac{1}{N} \int_0^N \sin^2 \left(2\pi (2-2\sqrt{2}) z \right) d z = \frac{1}{2}= \int_{[0,1]^2} f(\mathbf{x}) d\mathbf{x}.$

若取 $A = [1, 2]^T$ ，则等式不成立（这时 $A$ 中的 1 和 2 不是有理无关的）：
$\lim_{N\to\infty} \frac{1}{N} \int_0^N f(Az) d z = 0 \neq \frac{1}{2}= \int_{[0,1]^2} f(\mathbf{x}) d\mathbf{x}.$
例 2：取 $A = [1, 2] \in \mathbb{R}^{1 \times 2}$ , $f(x) = \sin^2 (2\pi x), {x}_0=0$ ，则有
$\lim_{N\to\infty} \frac{1}{N^2} \int_{[0,N]^2} \sin^2(2\pi z_1 + 4\pi z_2) d z_1 d z_2 = \frac{1}{2}= \int_0^1 f(x) dx.$

例 3：存在有的矩阵 $A$ 是满足条件 2 但不满足条件 1 的，比如下面的矩阵 $A$ 和向量 $\mathbf{k}$ ：
$A=\begin{pmatrix} \sqrt{2}&\sqrt{2}\\ 1-\sqrt{2}&0\\ 0&\sqrt{2}\\ \end{pmatrix}, \quad \mathbf{k}=\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ -1\\ \end{pmatrix}, \quad A^T \mathbf{k}=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ \end{pmatrix} \in \mathbb{Z}^2.$
考虑函数 $f(\mathbf{x})=e^{i2\pi(x_1+x_2-x_3)}$ 则会发现积分形式的极限是成立的，但求和形式的极限是不成立的。

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