线性代数系列：通过矩阵对角化简化矩阵的幂计算

关键词：线性代数，矩阵对角化

知识准备

矩阵的对角化可以极大地简化矩阵的幂计算。

如果一个 $n \times n$ 的矩阵 $A$ 可以对角化，即存在一个可逆矩阵 $P$ 和一个对角矩阵 $D$ ，使得：
$A = PDP^{-1}$
其中 $D$ 的对角线元素是 $A$ 的特征值。

那么，计算 $A$ 的 $k$ 次幂就变得非常简单：
$\begin{align*} A^k &= (PDP^{-1})^k \\ &= (PDP^{-1})(PDP^{-1})(PDP^{-1})\cdots(PDP^{-1}) \quad \text{(k 个)} \\ &= PD(P^{-1}P)D(P^{-1}P)D\cdots(P^{-1}P)DP^{-1} \\ &= PD(I)D(I)D\cdots(I)DP^{-1} \\ &= P\underbrace{DD\cdots D}_{k \text{ 个}}P^{-1} \\ &= PD^kP^{-1} \end{align*}$

关键在于，计算对角矩阵 $D$ 的 $k$ 次幂 $D^k$ 极其容易：只需要将 $D$ 对角线上的每个元素分别取 $k$ 次幂即可。例如，如果
$D = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{bmatrix}$
那么
$D^k = \begin{bmatrix} \lambda_1^k & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2^k & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n^k \end{bmatrix}$

因此，计算 $A^k$ 的步骤是：

对角化 $A$ 得到 $P$ 和 $D$ ，即求A的特征值和特征向量
计算 $D^k$ 。
计算 $PD^kP^{-1}$ 得到 $A^k$ 。

总结： 对于可对角化的矩阵，对角化将复杂的矩阵乘法（计算 $A^k$ ）转化为相对简单的对角矩阵幂运算和一次矩阵乘法，从而大大方便了矩阵幂的计算。这对于需要计算高次幂（如在动力系统、马尔可夫链、递推关系求解中）的情况尤其有用。

[例题1]

已知 $A$ 是 3 阶矩阵，且
$A \sim D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$
设 $B = A^3 - 6A^2 + 11A - 8E$ ，则 $B =$ ____

解:
$P^{-1}AP = D$
则
$A = PDP^{-1}$
以 $A^3$ 为例
$A^3 = PDP^{-1}PDP^{-1}PDP^{-1} = PD^3P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 27 \end{bmatrix}$

因此
$B = P \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 27 \end{bmatrix} P^{-1} - 6P \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix} P^{-1} + 11P \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} P^{-1} - 8 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

由于 $8E = 8PEP^{-1}$ ，再根据矩阵相加的结合律和分配律
$\begin{align*} B &= P \left( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 27 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 24 & 0 \\ 0 & 0 & 54 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 11 & 0 & 0 \\ 0 & 22 & 0 \\ 0 & 0 & 33 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{bmatrix} \right) P^{-1} \\ &= P \begin{bmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} P^{-1} \\ &= -2 PEP^{-1} \\ &= -2E \end{align*}$

[例题2]

已知矩阵 $A = \begin{bmatrix} 2 & a & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 3 & -6 & 0 \end{bmatrix}$ 能相似于对角矩阵。

(1) 求 $a$ 的值。

(2) 求 $A^{100}$ 。

解:
（1）A能相似于对角矩阵，则A有3个线性无关的特征向量，求A的特征值

$|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda-2 & -a & -1 \\ 0 & \lambda-3 & 0 \\ -3 & 6 & \lambda \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \lambda-3 & -a & -1 \\ 0 & \lambda-3 & 0 \\ \lambda-3 & 6 & \lambda \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \lambda-3 & -a & -1 \\ 0 & \lambda-3 & 0 \\ 0 & 6+a & \lambda+1 \end{vmatrix} = (\lambda-3)(\lambda-3)(\lambda+1) = 0$

所以 $\lambda_1 = \lambda_2 = 3$ , $\lambda_3 = -1$ 。

因为矩阵 $A$ 能相似对角化，所以当 $\lambda_1 = \lambda_2 = 3$ 时，其线性无关的特征向量（基础解系）应有 2 个，这意味着矩阵 $3E - A$ 的秩应为 $3 - 2 = 1$ 。

$3E - A = \begin{bmatrix} 1 & -a & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -3 & 6 & 3 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -a & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6-3a & 0 \end{bmatrix}$

要使该矩阵的秩为1，必须有 $6 - 3a = 0$ ，因此 $a = 2$ 。

(2)
矩阵 $A^{100}$ 的计算过程

已知 $a = 2$ ，则矩阵：
$A = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 3 & -6 & 0 \end{bmatrix}$

求特征值与特征向量

当 $\lambda_1 = \lambda_2 = 3$ 时：

$3E - A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -3 & 6 & 3 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

解得基础解系中的两个线性无关特征向量：
$\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

当 $\lambda_3 = -1$ 时：

$-E - A = \begin{bmatrix} -3 & -2 & -1 \\ 0 & -4 & 0 \\ -3 & 6 & -1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} -3 & -2 & -1 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \quad \text{(化简后)}$

解得基础解系中的一个特征向量：
$\mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$

构造可逆矩阵 $P$

将特征向量作为列向量构造 $P$ ：
$P = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}$

于是有：
$A = P \Lambda P^{-1} \quad \Rightarrow \quad A^{100} = P \Lambda^{100} P^{-1}$

其中：
$\Lambda^{100} = \begin{bmatrix} 3^{100} & 0 & 0 \\ 0 & 3^{100} & 0 \\ 0 & 0 & (-1)^{100} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3^{100} & 0 & 0 \\ 0 & 3^{100} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \quad (\text{因为 } (-1)^{100} = 1)$

求 $P^{-1}$

构造增广矩阵 $[P \mid E]$ 并进行行变换：

$\left[\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & 1 & -2 & 1 \end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{4} \end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{3}{4} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{array}\right]$

所以：
$P^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ \frac{3}{4} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{bmatrix}$

计算 $A^{100}$

$A^{100} = P \Lambda^{100} P^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3^{100} & 0 & 0 \\ 0 & 3^{100} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ \frac{3}{4} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{bmatrix}$

先计算中间乘积，最终结果为：

$A^{100} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 3^{101} + 1 & -2 \cdot 3^{100} + 2 & 3^{100} - 1 \\ 0 & 4 \cdot 3^{100} & 0 \\ 3^{101} - 3 & -2 \cdot 3^{100} + 6 & 3^{100} + 3 \end{bmatrix}$

线性代数系列：通过矩阵对角化简化矩阵的幂计算

知识准备

[例题1]

[例题2]

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