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引言

上一篇文章我们详细介绍了策略梯度算法(PG)，ppo其实就是策略梯度的一种变形。首先介绍一下同策略（on-policy）与异策略(off-policy)的区别。

在强化学习里面，我们需要学习的其实就是一个智能体。如果要学习的智能体跟和环境互动的智能体是同一个的话，称之为同策略。如果要学习的智能体跟和环境互动的智能体不是同一个的话，称之为异策略。那么先给童鞋们提出一个问题，ppo算法是同策略还是异策略？

1. 同策略的不足之处

首先我们回顾一下PG的期望奖励值，公式如下。

上面更新的公式中的是在策略的情况下， 所采样出来的轨迹做期望。但是如果更新了参数，从变成，概率就不对了，之前采样出来的数据就不能用了。所以PG会花很多时间去采样数据，可以说大多数时间都在采样数据，智能体去跟环境做互动以后，接下来就要更新参数，只能用这些数据更新参数一次。接下来就要重新再去收集数据，才能再次更新参数。

2. 改进同策略的思路

策略梯度是同策略的算法，所以非常耗费时间，那么一个可能的改进思路是将同策略变成异策略。简单的思路就是用另外一个策略， 另外一个演员去跟环境做互动。用收集到的数据去训练。假设我们可以用收集到的数据去训练，意味着说我们可以把收集到的数据用很多次，也就是可以执行梯度上升好几次，更新参数好几次，这都只要用同一笔数据就可以实现。因为假设有能力学习另外一 个演员所采样出来的数据的话，那就只要采样一次，也许采样多一点的数据，让去更新很多次， 这样就会比较有效率。

3. 同策略到异策略的具体实现

那么问题来了， 我们怎么找到这样的一个演员，使其收集到的数据可以用于训练，且他们之间的差异可以被忽略不计呢？

首先我们先介绍一个名词，重要性采样（importance sampling）。 假设有一个函数，需要从分布中采样。我们应该如何怎么计算的期望值呢？假设分布不能做积分，那么我们可以从分布尽可能多采样更多的。这样就会得到更多的，取它的平均值就可以近似的期望值。

现在另外一个问题也来了，假设我们不能在分布中采样数据，只能从另外一个分布中去采样数据，可以是任何分布。我们从中采样的话就不能直接套下面的式子。

因为上式是假设都是从采样出来的。如果我们想要在中采样的情况下带入上式，就需要做些变换。期望值的另一种写法是，不知道的童鞋可以补习一下万能的学科--数学，对其进行变换，如下式所示，

整理得下式，

这样就可以对分布中采样的取期望值。具体来说，我们从中采样，再去计算，最后取期望值。所以就算我们不能从里面去采样数据，只要能够从里面去采样数据，代入上式，就可以计算从分布采样代入以后所算出来的期望值。

这边是从做采样，所以我们从里采样出来的每一笔数据，需要乘上一个重要性权重（importance weight）来修正这两个分布的差异。可以是任何分布。重要性采样有一些问题。虽然我们可以把换成任何的。但是在实现上，和不能差太多。差太多的话，会有一些问题。两个随机变量的平均值一样，并不代表它的方差一样，这里不展开解释，感兴趣的童鞋可以带入方差公式推导一下。

现在要做的事情就是把重要性采样用在异策略的情况，把同策略训练的算法改成异策略训练的算法。 怎么改呢，如下式所示，我们用另外一个策略，它就是另外一个演员，与环境做互动，采样出轨迹，计算。

的职责是要去示范给看。它去跟环境做互动，采样数据来训练。这两个分布虽然不一样，但其实没有关系。假设本来是从做采样，但发现不能从做采样，可以把换，在 后面补上一个重要性权重。同理，我们把换成后，要补上一个重要性权重 。这个重要性权重就是某一个轨迹用算出来的概率除以这个轨迹用算出来的概率。

实际在做策略梯度的时候，并不是给整个轨迹都一样的分数，而是每一个状态-动作的对会分开来计算。具体可参考上一篇PG的文章。实际上更新梯度的时候，如下式所示。

我们用演员去采样出跟 ，采样出状态跟动作的对，并计算这个状态跟动作对的优势。就是累积奖励减掉偏置项，这一项是估测出来的。它要估测的是在状态采取动作 是好的还是不好的。也就是说如果是正的，就要增加概率，如果是负的，就要减少概率。 所以现在、是跟环境互动以后所采样到的数据。但是拿来训练，要调整参数的模型是。因为跟是不同的模型，所以需要用重要性采样技术去做修正。即把、 用采样出来的概率除掉、 用采样出来的概率。公式如下。

上式中的有一个上标，代表说是演员跟环境互动的时候所计算出来的结果。但实际上从换到的时候，应该改成，为什么呢？A这一项是想要估测说在某一个状态采取某一个动作，接下来会得到累积奖励的值减掉基线。之前是在跟环境做互动，所以我们可以观察到的是可以得到的奖励。但是现在是在跟环境做互动，所以我们得到的这个优势是根据所估计出来的优势。但我们现在先不要管那么多，我们就假设和可能是差不多的。

接下来，我们可以拆解和，即

于是可得公式

这里需要做一件事情，假设模型是的时候，我们看到的概率，跟模型是的时候，看到的概率是差不多的，即。

为什么可以这样假设呢？一种直观的解释就是很难算，这一项有一个参数，需要拿去跟环境做互动，算出现的概率。 尤其是如果输入是图片的话，同样的根本就不会出现第二次。我们根本没有办法估这一项，所以就直接无视这个问题。但是很好算，我们有这个参数，它就是个网络。我们就把带进去，就是游戏画面。 我们有个策略的网络，输入状态，它会输出每一个的概率。所以与这两项，我们只要知道和的参数就可以算。实际上在更新参数 的时候，我们就是按照下式来更新参数。公式如下。

所以实际上，我们可以从梯度去反推原来的目标函数，可以用来反推目标函数。当使用重要性采样的时候，要去优化的目标函数如下式所示，我们把它记。括号里面的代表我们需要去优化的参数。用去做示范采样数据，采样出、以后，要去计算跟的优势，再乘上 。

4. PPO

注意，由于在 PPO 中是，即行为策略也是，所以 PPO 是同策略的算法。

上面我们通过重要性采样把同策略换成异策略，但重要性采样有一个问题：如果和差太多的话，即这两个分布差太多的话，重要性采样的结果就会不好。那么怎么避免差太多呢？这就是 PPO 在做的事情。

PPO在训练的时候，多加一个约束项。 这个约束是跟输出的动作的KL散度，简单来说，这一项的意思就是要衡量说跟有多像。我们希望在训练的过程中，学习出来的跟越像越好。因为如果跟不像的话，最 后的结果就会不好。所以在 PPO 里面有两项：一项是优化本来要优化的东西，另一项是一个约束。这个约束就好像正则化的项一样，作用是希望最后学习出来的与尽量不用差太多。PPO算法公式如下。

4.1 TRPO

PPO 有一个前身：信任区域策略优化（trust region policy optimization，TRPO），TRPO 的式子如下式所示。

TRPO 与 PPO 不一样的地方是约束项摆的位置不一样，PPO 是直接把约束放到要优化的式子里，可以直接用梯度上升的方法最大化这个式子。但TRPO是把 KL 散度当作约束，它希望跟的 KL 散度小于一个。如果我们使用的是基于梯度的优化时，有约束是很难处理的，因为它把 KL 散度约束当做一个额外的约束，没有放目标里面。PPO 跟 TRPO 的性能差不多，但 PPO 在实现上比 TRPO 容易的多，所以我们一般就用 PPO，而不用TRPO。

4.2 PPO算法的两个主要变种

（1）近端策略优化惩罚（PPO-penalty）

首先初始化一个策略的参数。在每一个迭代 里面，我们要用前一个训练的迭代得到的演员的参数去跟环境做互动，采样到一大堆状态-动作的对。 根据互动的结果，估测。如下式所示。

上述KL散度前需要乘一个权重，需要一个方法来动态调整。 这个方法就是自适应KL惩罚：如果 KL(, ) > KLmax，增加；如果 KL(, ) < KLmin，减少 。简单来说就是KL散度的项大于自己设置的KL散度最大值，说明后面这个惩罚的项没有发挥作用，就把调大。同理，如果KL 散度比最小值还要小，这代表后面这一项的效果太强了，所以要减少。近端策略优化惩罚公式如下。

（2）近端策略优化裁剪（PPO-clip）

如果你觉得算KL散度很复杂，另外一种PPO变种即近端策略优化裁剪。近端策略优化裁剪要去最大化的目标函数如下式所示，式子里面就没有 KL 散度。

上式看起来很复杂，其实很简单，它想做的事情就是希望跟，也就是做示范的模型跟实际上学习的模型，在优化以后不要差距太大。

• 操作符min作用是在第一项和第二项中选择最小的。

• 第二项前面有个裁剪（clip）函数，裁剪函数是指：在括号里有三项，如果第一项小于第二项，则输出1 − ε；如果第一项大于第三项的话，则输出1 + ε。

• ε 是一个超参数，要需要我们调整的，一般设置为0.1或0.2 。

举个栗子，假设设ε=0.2，如下式所示。

在上式中，如果计算结果小于0.8，则clip函数值就是0.8；如果结果大于1.2，则取1.2。当然，如果介于0.8~1.2之间，则输入等输出。

我们详细看看clip函数到底算的是什么。

image

<center>图1. clip函数</center>

横轴是，纵轴是裁剪函数的输出。

image

<center>图2. clip函数详细图</center>

如图 2-a 所示， 是绿色的线；是蓝色的线；在绿色的线跟蓝色的线中间，我们要取最小值。假设前面乘上的这个项 A，它是大于 0 的话，取最小的结果，就是红色的这一条线。如图 2-b 所示，如果 A 小于 0 的话，取最小的以后，就得到红色的这一条线。

这其实就是控制跟在优化以后不要差距太大。具体来说：

如果 A > 0，也就是某一个状态-动作的对是好的，我们希望增加这个状态-动作对的概率。也就是想要让越大越好，但它跟的比值不可以超过1+ε。如果超过 1 +ε 的话，就没有好处了。红色的线就是目标函数，我们希望目标越大越好，也就是希望越大越好。但是只要大过 1+ε，就没有好处了。所以在训练的时候，当 pθ(at |st) 被 训练到> 1 +ε 时，它就会停止。

假设比还要小，并且这个优势是正的。因为这个动作是好的，我们希望这个动作被采取的概率越大越好，希望越大越好，那就尽量把它变大，但只要大到 1 + ε 就好。

如果 A < 0，也就是某一个状态-动作对是不好的，我们希望把减小。如果比还大，那我们就尽量把它压小，压到是 1 − ε 的时候就停了，就不要再压得更小。这样的好处就是不会让跟差距太大，并且实现这个方法也比较简单。

5. 代码实现

案例：倒立摆问题。钟摆以随机位置开始，目标是将其向上摆动，使其保持直立。 测试环境：Pendulum-v1

动作：往左转还是往右转，用力矩来衡量，即力乘以力臂。范围[-2,2]：（连续空间）

状态：cos(theta), sin(theta) , thetadot。

奖励：越直立拿到的奖励越高，越偏离，奖励越低。奖励的最大值为0。

定义网络结构：

class FeedForwardNN(nn.Module):

    def __init__(self, in_dim, out_dim):
        
        super(FeedForwardNN, self).__init__()

        self.layer1 = nn.Linear(in_dim, 64)
        self.layer2 = nn.Linear(64, 64)
        self.layer3 = nn.Linear(64, out_dim)

    def forward(self, obs):
        
        if isinstance(obs, np.ndarray):
            obs = torch.tensor(obs, dtype=torch.float)

        activation1 = F.relu(self.layer1(obs))
        activation2 = F.relu(self.layer2(activation1))
        output = self.layer3(activation2)

        return output

定义PPO类：

class PPO:

    def __init__(self, policy_class, env, **hyperparameters):

        # PPO 初始化用于训练的超参数
        self._init_hyperparameters(hyperparameters)

        # 提取环境信息
        self.env = env
        self.obs_dim = env.observation_space.shape[0]
        self.act_dim = env.action_space.shape[0]
        
        # 初始化演员和评论家网络
        self.actor = policy_class(self.obs_dim, self.act_dim)                                                
        self.critic = policy_class(self.obs_dim, 1)

        # 为演员和评论家初始化优化器
        self.actor_optim = Adam(self.actor.parameters(), lr=self.lr)
        self.critic_optim = Adam(self.critic.parameters(), lr=self.lr)

        # 初始化协方差矩阵，用于查询actor网络的action
        self.cov_var = torch.full(size=(self.act_dim,), fill_value=0.5)
        self.cov_mat = torch.diag(self.cov_var)

        # 这个记录器将帮助我们打印出每个迭代的摘要
        self.logger = {
            'delta_t': time.time_ns(),
            't_so_far': 0,          # 到目前为止的时间步数
            'i_so_far': 0,          # 到目前为止的迭代次数
            'batch_lens': [],       # 批次中的episodic长度
            'batch_rews': [],       # 批次中的rews回报
            'actor_losses': [],     # 当前迭代中演员网络的损失
        }

    def learn(self, total_timesteps):

        print(f"Learning... Running {self.max_timesteps_per_episode} timesteps per episode, ", end='')
        print(f"{self.timesteps_per_batch} timesteps per batch for a total of {total_timesteps} timesteps")
        t_so_far = 0 # 到目前为止仿真的时间步数
        i_so_far = 0 # 到目前为止，已运行的迭代次数
        while t_so_far < total_timesteps:                                                                  
    
            # 收集批量实验数据
            batch_obs, batch_acts, batch_log_probs, batch_rtgs, batch_lens = self.rollout()                    

            # 计算收集这一批数据的时间步数
            t_so_far += np.sum(batch_lens)

            # 增加迭代次数
            i_so_far += 1

            # 记录到目前为止的时间步数和到目前为止的迭代次数
            self.logger['t_so_far'] = t_so_far
            self.logger['i_so_far'] = i_so_far

            # 计算第k次迭代的advantage
            V, _ = self.evaluate(batch_obs, batch_acts)
            A_k = batch_rtgs - V.detach()                                                                 

            # 将优势归一化 在理论上不是必须的，但在实践中，它减少了我们优势的方差，使收敛更加稳定和快速。
            # 添加这个是因为在没有这个的情况下，解决一些环境的问题太不稳定了。
            A_k = (A_k - A_k.mean()) / (A_k.std() + 1e-10)
            
            # 在其中更新我们的网络。
            for _ in range(self.n_updates_per_iteration):  
  
                V, curr_log_probs = self.evaluate(batch_obs, batch_acts)

                # 重要性采样的权重
                ratios = torch.exp(curr_log_probs - batch_log_probs)

                surr1 = ratios * A_k
                surr2 = torch.clamp(ratios, 1 - self.clip, 1 + self.clip) * A_k

                # 计算两个网络的损失。
                actor_loss = (-torch.min(surr1, surr2)).mean()
                critic_loss = nn.MSELoss()(V, batch_rtgs)

                # 计算梯度并对actor网络进行反向传播
                # 梯度清零
                self.actor_optim.zero_grad()
                # 反向传播，产生梯度
                actor_loss.backward(retain_graph=True)
                # 通过梯度下降进行优化
                self.actor_optim.step()

                # 计算梯度并对critic网络进行反向传播
                self.critic_optim.zero_grad()
                critic_loss.backward()
                self.critic_optim.step()

                self.logger['actor_losses'].append(actor_loss.detach())
                
            self._log_summary()

            if i_so_far % self.save_freq == 0:
                torch.save(self.actor.state_dict(), './ppo_actor.pth')
                torch.save(self.critic.state_dict(), './ppo_critic.pth')

    def rollout(self):
        """
            这就是我们从实验中收集一批数据的地方。由于这是一个on-policy的算法，我们需要在每次迭代行为者/批评者网络时收集一批新的数据。
        """
        batch_obs = []
        batch_acts = []
        batch_log_probs = []
        batch_rews = []
        batch_rtgs = []
        batch_lens = []

        # 一回合的数据。追踪每一回合的奖励，在回合结束的时候会被清空，开始新的回合。
        ep_rews = []

        # 追踪到目前为止这批程序我们已经运行了多少个时间段
        t = 0 

        # 继续实验，直到我们每批运行超过或等于指定的时间步数
        while t < self.timesteps_per_batch:
            ep_rews = []  每回合收集的奖励

            # 重置环境
            obs = self.env.reset()
            done = False
            
            # 运行一个回合的最大时间为max_timesteps_per_episode的时间步数
            for ep_t in range(self.max_timesteps_per_episode):
            
                if self.render and (self.logger['i_so_far'] % self.render_every_i == 0) and len(batch_lens) == 0:
                    self.env.render()

                # 递增时间步数，到目前为止已经运行了这批程序
                t += 1

                #  追踪本批中的观察结果
                batch_obs.append(obs)

                # 计算action，并在env中执行一次step。
                # 注意，rew是奖励的简称。
                action, log_prob = self.get_action(obs)
                obs, rew, done, _ = self.env.step(action)

                # 追踪最近的奖励、action和action的对数概率
                ep_rews.append(rew)
                batch_acts.append(action)
                batch_log_probs.append(log_prob)

                if done:
                    break
                    
            # 追踪本回合的长度和奖励
            batch_lens.append(ep_t + 1)
            batch_rews.append(ep_rews)

        # 将数据重塑为函数描述中指定形状的张量，然后返回
        batch_obs = torch.tensor(batch_obs, dtype=torch.float)
        batch_acts = torch.tensor(batch_acts, dtype=torch.float)
        batch_log_probs = torch.tensor(batch_log_probs, dtype=torch.float)
        batch_rtgs = self.compute_rtgs(batch_rews)                                                              

        # 在这批中记录回合的回报和回合的长度。
        self.logger['batch_rews'] = batch_rews
        self.logger['batch_lens'] = batch_lens

        return batch_obs, batch_acts, batch_log_probs, batch_rtgs, batch_lens

    def compute_rtgs(self, batch_rews):

        batch_rtgs = []
        
        # 遍历每一回合，一个回合有一批奖励
        for ep_rews in reversed(batch_rews):
            # 到目前为止的折扣奖励
            discounted_reward = 0

            # 遍历这一回合的所有奖励。我们向后退，以便更顺利地计算每一个折现的回报
            for rew in reversed(ep_rews):
                
                discounted_reward = rew + discounted_reward * self.gamma
                batch_rtgs.insert(0, discounted_reward)

        # 将每个回合的折扣奖励的数据转换成张量
        batch_rtgs = torch.tensor(batch_rtgs, dtype=torch.float)

        return batch_rtgs

    def get_action(self, obs):
    
        mean = self.actor(obs)

        # 用上述协方差矩阵中的平均行动和标准差创建一个分布。
        dist = MultivariateNormal(mean, self.cov_mat)
        action = dist.sample()
        log_prob = dist.log_prob(action)

        return action.detach().numpy(), log_prob.detach()

    def evaluate(self, batch_obs, batch_acts):
        """
            估算每个观察值，以及最近一批actor网络迭代中的每个action的对数prob。
        """
        
        # 为每个batch_obs查询critic网络的V值。V的形状应与batch_rtgs相同。
        V = self.critic(batch_obs).squeeze()

        # 使用最近的actor网络计算批量action的对数概率。
        mean = self.actor(batch_obs)
        dist = MultivariateNormal(mean, self.cov_mat)
        log_probs = dist.log_prob(batch_acts)

        # 返回批次中每个观察值的值向量V和批次中每个动作的对数概率log_probs
        return V, log_probs

最终的动画效果如下图：

ppo.gif

训练结果如下所示：

Average Episodic Length：200

Average Episodic Return：-76.99

Average actor_loss：0.0017

Average value_loss：0.49982

Iteration：10000

6. 总结

PPO其实就是避免在使用重要性采样时由于在下的 与在 下的差太多，导致重要性采样结果偏差较大而采取的算法。具体来说就是在训练的过程中增加一个限制，这个限制对应着和输出的动作的 KL 散度，来衡量与的相似程度。

7. 参考文献

[1]《Reinforcement+Learning: An+Introduction》

[2] https://medium.com/analytics-vidhya/coding-ppo-from-scratch-with-pytorch-part-1-4-613dfc1b14c8

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