2021年全国新高考（Ⅱ）数学卷

$\begin{align} &一、单项选择： (本是共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小是给出的四个选项中 , 只有一个项是符合题目要求。\\ &1. (5 分) 复数 \frac{2-i}{1-3 i} 在复平面内对应点所在的象限为 (\quad ) \\ &A. 第一象限 \qquad B. 第二象限 \qquad C. 第三象限 \qquad D. 第四象限 \end{align}$

$\begin{align} &2. (5 分) 若全集 U = \{1,2,3,4,5,6\} , 集合 A = \{1,3,6\}, B = \{2,3,4\} , 则 A \cap C_{\cup} B = (\quad) \\ &A. \{3\} \qquad B. \{1,6\} \qquad C. \{5,6\} \qquad D. \{1,3\} \\ \end{align}$

$\begin{align} &3. (5 分) 若抛物线 y^{2} = 2 p x(p>0) 的焦点到直线 y = x+1 的距离为 \sqrt{2} , 则 p = () \\ &A. 1 \qquad B. 2 \qquad C. 2 \sqrt{2} \qquad D. 4 \\ \end{align}$

$\begin{align} &4. (5 分) 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果. 在卫星导航系统中, 地球静止同步轨道\\& 卫星的轨道位于地球赤道所在平面, 轨道高度为 36000 \mathrm{~km} (轨道高度是指卫星到地球表面的距离). 将地\\& 球看作是一个球心为 O , 半径 r 为 6400 \mathrm{~km} 的球, 其上点 A 的纬度是指 O A 与赤道平面所成角的度数. 地\\& 球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 \alpha , 该卫星信号覆盖\\&地球表面的表面积 S = 2 \pi r^{2}(1-\cos \alpha) (单位: \left.\mathrm{km}^{2}\right) , 则 S 占地球表面积的百分比约为 ( \quad )\end{align}$
$A. 26 \% \qquad B. 34 \% \qquad C. 42 \% \qquad D. 50 \%$

$\begin{align} &5. (5 分) 正四棱台的上、下底面的边长分别为 2,4 , 侧棱长为 2 , 则其体积为（） \\ &A. 20+12 \sqrt{3} \qquad B. 28 \sqrt{2} \qquad C. \frac{56}{3} \qquad D. \frac{28 \sqrt{2}}{3} \\ \end{align}$

$\begin{align} &6.（5分) 某物理量的测量结果服从正态分布 N\left(10, \sigma^{2}\right) , 则下列结论中不正确的是（） \\ &A. \sigma 越小, 该物理量在一次测量中落在 (9.9,10.1) 内的概率越大 \\ &B. 该物理量在一次测量中大于 10 的概率为 0.5 \\ &C. 该物理量在一次测量中小于为 9.99 与大于 10.01 的概率相等 \\ &D. 该物理量在一次测量中结果落在 (9.9,10.2) 与落在 (10,10.3) 的概率相等 \\ \end{align}$

$\begin{align} &7. (5 分) 已知 a = \log _{5} 2, b = \log _{8} 3, c = \frac{1}{2} , 则下列判断正确的是 ( ) \\ &A. c<b<a \qquad B. b<a<c \qquad C. a<c<b \qquad D. a<b<c \end{align}$

$\begin{align} &8. (5分) 已知函数 f(x) 的定义域为 \mathbf{R}, f(x+2) 为偶函数, f(2 x+1) 为奇函数, 则(\quad) \\ &A. f\left(-\frac{1}{2}\right) = 0 \qquad B. f(-1) = 0 \qquad C. f(2) = 0 \qquad D. f(4) = 0 \\ \end{align}$

二、多项选择题： (本是共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分。在每小是给出的四个选项中 , 有多个项是符合题目要求。全对得5分。选对但不全得2分。有错误答案得0分。)

$\begin{align} &9. (5 分) 下列统计量中, 能度量样本 x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} 的离散程度的有 ( ) \\ &A. 样本 x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} 的标准差 \\ &B. 样本 x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} 的中位数 \\ &C. 样本 x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} 的极差 \\ &D. 样本 x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} 的平均数 \\ \end{align}$

$\begin{align} &10. (5 分) 如图, 下列正方体中, O 为底面的中心, P 为所在棱的中点, \\ & M, N 为正方体的顶点, 则满足M N \perp O P 的是(\quad) \end{align}$

image.png

$\begin{align} 11. &(5 分) 已知直线 l: a x+b y-r^{2} = 0 与圆 C: x^{2}+y^{2} = r^{2} , 点 A(a, b) \\& , 则下列说法正确的是 (\quad ) \end{align}$
$A. 若点 A 在圆 C 上, 则直线 l 与圆 C 相切$
$B. 若点 A 在圆 C 内, 则直线 l 与圆 C 相离$
$C. 若点 A 在圆 C 外, 则直线 l 与圆 C 相离$
$D. 若点 A 在直线 l 上, 则直线 l 与圆 C 相切$

$\begin{align}12. &(5 分) 设正整数 n=a_{0} \cdot 2^{0}+a_{1} \cdot 2^{1}+\cdots+a_{k-1} \cdot 2^{k-1}+a_{k} \cdot 2^{k} , \\&其中 a_{i} \in\{0,1\} , 记 \omega(n)=a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{k} , 则 ( )\end{align}$
$\begin{align} &A. \omega(2 n)=\omega(n) \\ &B. \omega(2 n+3)=\omega(n)+1 \\ &C. \omega(8 n+5)=\omega(4 n+3) \\ &D. \omega\left(2^{n}-1\right)=n \end{align}$

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
$13. (5分) 已知双曲线 \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0) 的离心率 e=2 , 则该双曲线的渐近线方程为$ ______________________。

$14. (5 分) 写出一个同时具有下列性质(1) (2) (3) 的函数 f(x)$ : ____________________。
$(1) f\left(x_{1} x_{2}\right)=f\left(x_{1}\right) f\left(x_{2}\right) ; (2) 当 x \in(0,+\infty) 时, f^{\prime} (x)>0 ; (3) f^{\prime} (x) 是奇函数$ .

$15. (5 分) 已知向量 \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0},|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=|\vec{c}|=2 , 则 \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}=$ ___________________________________________。

$\begin{align}&16. (5 分) 已知函数 f(x)=\left|e^{x}-1\right|, x_{1}<0, x_{2}>0 , 函数 f(x) 的图象在点\\ &A\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right) 和点 B\left(x_{2}\right. , \left.f\left(x_{2}\right)\right) 的两条切线互相垂直 , 且分别交 y 轴于 M, N 两点, \\&则 \frac{|\mathrm{AM}|}{|\mathrm{BN}|} 的取值范围是\end{align}$ ___________________________。

四、解答题(本题共6小题,共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上)
$17.(10分)记 S_ {n} 是公差不为0的等差数列{ a_ {n} }的前n项和,若 a_ {3} = S_ {5} , a_ {2} a_ {4} = S_ {4}$ .
$(1)求数列{ a_ {n} }的通项公式 a_ {n}$ ；
$(2)求使 S_ {n} > a_ {n} 成立的n的最小值$ .

$18. (12 分) 在 \triangle A B C 中, 角 A, B, C 所对的边长为 a, b, c, b=a+1, c=a+2$ .
$(1) 若 2 \sin C=3 \sin A , 求 \triangle A B C 的面积$ ;
$(2) 是否存在正整数 a , 使得 \triangle A B C 为钝角三角形? 若存在, 求出 a 的值; 若不存在, 说明理由$ .

$19. (12 分) 在四棱雉 Q-A B C D 中, 底面 A B C D 是正方形, 若 A D=2, Q D=Q A=\sqrt{5}, Q C=3 .$
$(I) 求证：平面 Q A D \perp 平面 A B C D ;$
$(II) 求二面角 B-Q D-A 的平面角的余弦值. a$

image.png

$\begin{align}20. (12 分) 已知椭圆 C 的方程为 \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(a>b>0) , 右焦点为 F(\sqrt{2}, 0) , 且离心率为 \frac{\sqrt{6}}{3} .\end{align}$
$(I) 求椭圆 C 的方程;$
$\begin{align}(II) &设 M, N 是椭圆 C 上的两点, 直线 M N 与曲线 x^{2}+y^{2}=b^{2}(x>0) 相切. \\& 证明: M, N, F 三点共线的充要条件是 \mid M N=\sqrt{3} .\end{align}$

$\begin{align} 21. &(12分) 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来, 设一个这种微生物为第 0 代, 经过一次繁殖\\ & 后为第 1 代, 再经过一次繁殖后为第 2 代, \cdots \cdots , 该微生物每代䉂殖的个数是相互独立的且有相同的\\ &分布列, 设 X 表示 1 个微生物个体鲧殖下一代的个数, P(X = i) = p_{i}(i = 0,1,2,3) . \end{align}$
$(1) 已知 p_{0} = 0.4, p_{1} = 0.3, p_{2} = 0.2, p_{3} = 0.1 , 求 E(X) ;$
$\begin{align}(2 ) &设 p 表示该种微生物经过多代敏殖后临近灭绝的概率, \\& p 是关于 x 的方程: p_{0}+p_{1} x+p_{2} x^{2}+p_{3} x^{3} = x \\& 的一个最小正实根,求证:当E(X)⩽1时,p=1,当E(X)>1时,p<1; \end{align}$
$\left(3\right)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.$

$22.(12分)已知函数f(x)=(x-1) e^ {x} - ax^ {2} +b.$
$(1)讨论f(x)的单调性;$
$(2)从下面两个条件中选一个,证明:f(x)恰有一个零点.$
$①\quad \dfrac{1}{2} <a\leq \dfrac{e^{2}}{2},b >2a; \qquad ②\quad 0 <a <\dfrac{1}{2},b\leq 2a.$

最后编辑于：2022.03.19 11:20:01

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