量子力学7：概率把不可能变成可能
有的人说数学是物理学家的工具，是描写大自然的语言，这么说还不足以体现数学的厉害。你越了解物理，就越觉得数学不仅仅是大自然的语言，而且是大自然的法则。
如果数学禁止一件事发生，这件事就绝对不会发生。那如果数学允许一件事发生，这件事会发生吗？从逻辑上来说它应该可能发生也可能不发生。但是如果你相信一种更强硬的哲学，你也许可以说，只要数学允许一件事发生，这件事就一定会发生。
薛定谔方程可以完美地解释氢原子的能级，但是好的理论必须不但解释一些已知的现象，还要能预言未知的现象。最厉害的物理理论甚至会预言一些你绝对想不到的东西。你觉得那有点太离奇了，你不敢相信，但是你一去验证，发现居然是真的。
做一件所有严肃学习量子力学的人，在学了薛定谔方程之后，都必须做的事情。那就是用这个方程来求几个简单的解。
把问题简化，假设空间是一维的，只有 x 这一个方向。
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首先考虑一个最简单的情况，自由粒子。没有任何东西会影响这个粒子，所以薛定谔方程中的势能 V = 0。这个方程的解可以拥有任何能量。给定一个能量，波函数的形状是一个所谓“平面波”。下面这张图中表现了波函数 Ψ 的实部、虚部和绝对值的平方 ——
看波函数本身，它是一个标准的波动。它的波长由粒子的能量决定，再考虑到能量跟动量的关系，这个波正好满足德布罗意那个“物质波”公式。自由的粒子，是一个自由的波。
波函数本身是个波动，可是波函数的绝对值的平方，却是一个常数。它在 x 空间中每一点都是一样的。波函数绝对值的平方代表粒子在这个区域被发现的概率。所以这就意味着，这个自由粒子，出现在空间各个位置的可能性都是一样大的。
这也符合海森堡不确定性原理，因为你给定了能量就给定了动量，而既然动量没有不确定性，位置的不确定性就必须是无穷大。这也就是说，在量子世界里，绝对自由的粒子，同时身处世界所有的地方。它是一片无处不在的云，你在哪里都有可能遇到它。
体会一下这个意境，什么叫自由。
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当然绝对的自由是没有的，人生充满限制。再考虑一个绝对限制的情况。势能 V 在一个区域内部仍然是零，但是在区域外部是无穷大，就好像用一个盒子把粒子给装起来了。像下面图中这样 ——
这时候方程在区域内的解仍然是平面波，在区域外无解，波函数在边界上的取值必须是 0。有意思的是，能级出现了。
数学上要求，虽然只有这么简单的限制，这个粒子的能量就不能是任意的。它只能从一些固定的能级中选取，E1, E2, E3……这样从小到大排列。这就是为什么氢原子是有能级的！特别是，其中最小的能级 E1 ≠ 0。为什么呢？因为不确定性原理！现在粒子位置的不确定性变成有限大了，那么它就必然有一个动量的不确定性 —— 它就不能一动不动。
量子力学不允许受限制的东西一动不动。这就是为什么哪怕是在无比接近绝对零度的情况下，粒子们也会动一动。
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现在考虑一个最实际的情况。假设一个原本自由的粒子，被右边的一面墙给挡住了。墙的势能 V 比粒子的能量 E 高，所以墙对粒子形成了限制。
在经典的世界中，粒子永远都不可能穿越这面墙。否则穿墙的时候粒子的 动能 = E - V < 0，这算怎么回事儿呢？
但是在量子世界中，薛定谔方程的解却是下面这个样子的 ——
波函数在墙的左边是个正常的平面波，在经过墙的时候是一个快速衰减的波 — 但是它没有衰减到 0！它在墙的右边，仍然有一个绝对值变小了很多的平面波。粒子可以穿墙。
当然，因为右边波的绝对值平方会比左边小很多，你在右边发现粒子的概率肯定比在左边小很多 —— 也就是说穿墙的概率并不是很大……但是！穿墙是可能的。
量子力学允许粒子穿过势能比它自身能量大的墙。这就相当于说，一个东西可以突破比它自己的能力大的限制。
这怎么可以呢？
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薛定谔方程只是薛定谔在“情欲大爆发”期间灵感来了，写下的波函数方程。薛定谔运气好，这个方程恰好能解出氢原子的能级。但是当时连薛定谔本人都不知道波函数是什么东西，后来还是玻恩提出一个猜测，说波函数绝对值的平方代表概率。
数学只是物理学家用的一个工具，甚至可以说是一个玩具。真实世界没有任何理由必须听从你这个方程的，对吧？
那么现在这个方程得出了一个违背常识的解，你应该怎么办呢？中学老师一定会告诉你舍掉那个解。
1927年，也就是薛定谔的论文刚刚发表不到一年，就有好几个物理学家解薛定谔方程得到了这个穿墙的解。我们可以称之为“量子隧道效应（Quantum tunnelling）”，也叫“量子隧穿”。当时人们并不知道这有什么意义。
1928 年，24岁的美籍俄裔物理学家乔治·伽莫夫（George Gamow），说不应该舍弃这个解。
因为量子隧穿对应的物理现象是真的。
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伽莫夫说，这个量子隧穿，能解释为什么原子核会衰变。我们知道原子核是质子和中子紧密结合在一起的一个核，那既然有一种力量让它们结合得这么紧密，为什么有的原子核有时候又能突然分裂呢？质子和中子怎么突然就克服了那个结合的力量呢？
质子中子的动能比结合力的势能小，但是它们也能跑出来，这不就是量子隧穿吗？伽莫夫的计算结果正好符合衰变概率。马克思·玻恩一听说伽莫夫的工作，立即意识到量子隧穿应该是个普遍现象。
结果物理学家放眼一看，它在自然界简直比比皆是。
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比如说核聚变，是两个比较小的原子核聚在一起，合成一个大的原子核，同时释放大量能量。太阳之所以发光发热，就是因为里面在发生核聚变反应。
但是原子核都是带正电的，正电和正电互相排斥，那这两个原子核要想克服这个排斥的电势能，本来是必须要以非常高的动能发生碰撞才行……正是因为量子隧穿，核聚变才能在温度不算太高、动能不算太强的情况下发生 —— 而按核聚变的标准，太阳的温度就不算太高。
换句话说，我们能享受太阳的光和热，多亏了有量子隧穿。
在生物学中，植物能发生光合作用，细胞能够呼吸，DNA能够自我修复，都和量子隧穿有关。
量子隧穿最著名的一个应用是 1981 年发明的“扫描隧道显微镜”。这种仪器能测量出原子尺度的结构。它的原理是用一根探针去接近一个金属表面，探针和金属表面之间有一个非常非常小的空隙，这个空隙就相当于一个墙。金属表面的电子本来是无法克服空隙和探针接触的，但是由于隧穿效应，电子有时候就到达探针，探针就探测到了电流。
量子隧穿对墙的宽度非常非常敏感，金属表面原子的高低排列哪怕一点点的起伏都能体现在电子穿墙的概率上，而这就意味着扫描隧道显微镜能看到原子的图像 ——
可是应该怎么理解量子隧穿呢？
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既然 E < V，粒子为什么还能穿墙呢，难道说能量守恒定律在穿墙那一刻失效了吗？
有两种选择。一个选择是认为量子力学可以违反能量守恒。对物理学家来说这非常别扭，我们非常非常相信能量守恒。
另一个选择是，还可以换个角度来理解这件事。能量和时间之间有一个不确定性原理，随着时间的推移，量子世界里系统的能量可以有一个小小的涨落，ΔE。而 E + ΔE，可以大于 V。只要尝试的次数足够多，不确定性总会有一次让能量正好够用，从而穿墙。
你选择哪种理解都可以，要点是量子隧穿是个真实的现象。
可以畅想一下，如果粒子可以穿墙，那人是不是也可以呢？薛定谔方程可没说只适用于微观粒子，人无非就是质量大一点呗？
你把人的质量带入薛定谔方程求解，理论上也有一个不为零的概率，人可以穿墙而过。但是那个概率实在是太小太小了。让一个人不停地试验，每秒钟撞一次墙，他试验到宇宙年龄那么长的时间也不会有一次成功。
不过这个假想的推导带给我们一个启发。也许真实世界中很多所谓的“不可能”，其实都是概率极其小的意思。你要这么看的话，我们其实是生活在一个概率的世界中，每天都在“拥抱不确定性”。在理论上，只要数学允许，这个世界真的就像那句励志口号说的那样，“一切皆有可能” —— 只不过有些可能性实在太小了而已。
量子力学8：狄拉克统领量子电动力学
上世纪二三十年代，物理学的天空可谓是群星璀璨。量子力学刚刚创立，微观世界一下子出了好多地盘等着被人占领，那真是人人争先，都想着建功立业青史留名。
而且过了这个村，可就没这个店了。等到 1940 年代以后，量子力学已经成熟了，再想做出重大发现就越来越难了。所以有个著名的说法叫做当时二流的物理学家能做出一流的工作，后来一流的物理学家只能做二流的工作。
但是，参与创立量子力学的这些物理学家，可真没有一个是二流。他们是要算力有算力，要灵气有灵气，要思想有思想，要个性有个性的一代人……跟他们相比，今天的科学家真没有多少展现自我的机会，有些人跟木匠和包工头差不多。所以千万不要低估当时的天下英雄。德布罗意和薛定谔刚刚接力完成“量子波”的单点突破，各路英雄就迅速跟上，量子力学全面开花。
这其中最厉害的一位，保罗·狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac）。
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薛定谔方程一出来，理论物理学家们马上面临两个问题。一个是电动力学现在得改写了。麦克斯韦的旧理论里没有光子，还认为电子有一个明确的轨道，那个轨道还会辐射能量，这些明显都不管用了。另一个问题是，薛定谔方程是个低能量方程，它不满足狭义相对论的时空观。
物理学家迫切需要把电动力学、薛定谔方程和狭义相对论统一起来，弄一个“量子电动力学”。
把这件事干成的主力人物，正是保罗·狄拉克。1928 年，也就是薛定谔方程刚刚发表两年之后，26 岁的狄拉克就把量子电动力学的关键理论给做出来了。
融合了相对论的波动方程就叫“狄拉克方程”。那么按照物理学家的常规操作，下一步就是看看这个新方程能不能解出新的物理学来。
狄拉克解出了两个新东西。
一个是 1931 年的时候，狄拉克发现他那个方程的解里面，除了寻常的、带负电的电子之外，还有一种质量和电子一样、但是带正电的东西，可以叫做“正电子”。强势的狄拉克说，既然我这个方程里有正电子，正电子就应该存在。
结果仅仅过了一年，美国的实验物理学家就发现了正电子。正电子也是人类所知道的第一种“反物质”。狄拉克据此拿到 1933 年诺贝尔物理奖。
这个世界为什么会有反物质存在？因为数学要求它们存在。
狄拉克方程解出的另一个新东西，叫做“自旋”。
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其实早在1922年，实验物理学家就已经发现了自旋。
这个实验是以发明者的名字命名的，叫“斯特恩-盖拉赫实验”。如下图所示 ——
把一束银原子从高温炉中射出，经过一个外加的磁场之后，打在屏幕上，变成了两束。而这很奇怪。
磁场为什么能偏转银原子的飞行路线呢？银原子是电中性的，但是它的最外层有一个“非配对”的电子，你可以把银原子想象成是一个单个电子绕着原子核旋转的东西。根据最简单的电磁学，电子的这个绕行，形成了一个小小的环绕电流，就把银原子变成了一个小小的磁铁。磁铁，当然会被外部的磁场影响。
但如果仅仅是这样，射线应该是被*连续地*偏转，打在屏幕上应该是连续的一条短线才对 —— 为什么现在射线是被正好分成了两束，打在屏幕上是两个亮点呢？
唯一的解释是，电子在绕着原子核的旋转之外，自身还有一个别的什么旋转 —— 而它自身的旋转角动量是*量子化*的，只有“1/2”和“-1/2”两个取值，对应上下两束射线。把这个多出来的、电子自身的旋转，叫做“自旋”。
但是实验物理学家不知道自旋是从哪来的。电子自旋的 ±1/2 是实验凑出来的数。那这一回谁能解释自旋呢？
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狄拉克 1926 年的时候在哥本哈根和玻尔、海森堡一起做研究。当时海森堡说，三年之内肯定能有理论解释自旋这种现象。而狄拉克认为用不了三年，三个月就够……他过分乐观了，不过两年之后，狄拉克用自己的方程解出了自旋。
自旋，是狄拉克方程内在的要求。但是你要放弃对自旋的形象化理解。如果你把电子想象成一个小球，自旋是这个小球的自转，自旋的正负号是自转的方向，那么电子的自旋是1/2这个事实意味着这个小球必须得两圈，才能回到原来的样子！
日常生活里哪有这样的小球。再说根据电子的质量和自旋角动量计算，这个小球自转的表面速度已经超过光速了，这也不合理。
只需要知道，自旋是电子的一个内在属性，是一个具有角动量特点的性质。当物理定律说“角动量守恒”的时候，是说电子的 总角动量 = 轨道角动量 + 自旋角动量，是守恒的。
有了自旋这个概念，就可以更深刻地理解量子力学了。
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自旋的这个性质跟日常生活里的事情非常不一样，以至于不知道该怎么打比方 —— 但是理解这个性质，对理解“量子态”很有意义。
回到刚才的斯特恩-盖拉赫实验，外加磁场把银原子束一分为二，一半向上一半向下，这说明最外层那个电子的自旋，正好一半是 1/2，一半是 -1/2。我们只考虑正负号，那么电子的状态，就可以写成 ——
用了狄拉克发明的“半个括号” （ “| >”） 来表示一个量子态，这个公式说的就是电子的量子态可以写成自旋方向是 + 和 - 的两个量子态之和。其中的“根号 2 分之一”是为了保证每个态的概率都是 1/2：别忘了，概率等于波函数绝对值的平方。
这个对自旋的描述，跟“波”完全没关系，这里面没有任何波动性。量子态并不一定非得有波！“波函数”、“波粒二象性”，这些名词都是历史路径依赖带来的。更科学的叫法是“态函数（state function）”和“量子叠加态”。
上面那个公式可以这么说：以自旋而论，电子处于 + 和 - 两个自旋的叠加态。实验观测会让它“坍缩（collapse）”到其中一个态上去，而坍缩到每个态的概率都是1/2，所以银原子被分成了两束。
这没问题吧？现在来考虑一个烧脑的实验过程。
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为什么斯特恩-盖拉赫实验中电子的自旋的 + - 取向，正好和外加磁场的方向一致呢？正好是一个向上一个向下。难道说电子在决定自己如何自旋之前，知道外加磁场是什么方向的吗？
那当然不能这么说。只能理解为，你任选一个方向，电子自旋都是那个方向上的叠加态。比如假设磁场是空间中的 z 方向，那么我们就可以说 ——
你把磁场换成 x 方向，电子的态函数也可以写成 ——
也就是说，电子的状态本来是“不可说”的！是你非要在一个方向上做实验，逼着电子在这个方向上“表态”，它才不得不表现为两个自旋的叠加态！
是你的观测，给了电子一个自我表达的视角。电子本来没有视角。
理解了这一点，再看下一步。
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设想，银原子经过了一个 z 方向上的斯特恩-盖拉赫磁场之后，你引出了其中代表电子自旋是 +1/2 的那一束。你非常清楚，现在这些电子的态函数是。现在如果你把这一束银原子再过一遍 z 方向上的斯特恩-盖拉赫磁场，它就不会变成两束了，会保持一束。它对自己的表态很忠诚。
那好，现在我们把这一束银原子，在 x 方向上再经过一个斯特恩-盖拉赫磁场，你猜你会得到什么？
你仍然会得到 x 方向上的两束。也就是说这个“z 方向自旋为 +”的态函数，还可以用 x 方向上的两个自旋态叠加 ——
因为 x 方向和 z 方向是完全垂直的，等于是互相没关系，所以两个叠加态的概率仍然是各自 1/2 。
宏观世界里没有这样的事情！比如我们知道地球有个自转，这个自转的方向是固定的。你沿着地轴方向问地球的“自旋”，地球会告诉你是 1；你换一个垂直方向再问地球的自旋，地球只会告诉你，它在那个方向上没有自旋，或者说自旋是 0。但是电子的自旋量子数只有 ±1/2 这两个选项！在 z 方向是 +1/2，换成 x 方向再测，又是 ±1/2。
这就等于说，哪怕电子已经在一个方向上明确表态了，你还可以逼着它在另一个方向上再表态一次。它仍然处在第二个方向上的量子叠加态中。这是自旋的一个非常奇妙的性质。自旋不会死，它可以变。
而自旋之所以不死，也可以理解成是海森堡不确定性的要求：你不能同时确定一个电子在 z 和 x 两个方向上的自旋。一个确定了，另一个马上变得不确定。
再来一步。从第二个斯特恩-盖拉赫装置（x 方向）中出来的两束银原子中，我们再选其中代表 x 方向自旋是 + 的一束，也就是然后再让它过一次 z 方向上的斯特恩-盖拉赫装置，你猜会怎样？
整个实验过程是像下面这样的 ——
答案是银原子又被分成了两束。
你体会一下这个过程。从第一个磁场出来，我们已经选择了 z 方向为正这一束，这些电子已经对 z 方向表过态了。可是在第三个磁场上你又让它们对 z 方向表态，它们再次变成了叠加态。这是为什么呢？因为过第二个磁场在 x 方向上的表态，破坏了前面在 z 方向上的表态，现在它必须重新表态 ——
电子任何时候都有自旋，它的自旋永不停息 —— 但是它的自旋可以完全没有明确的方向：你在哪个方向上让它表态，它总是告诉你它的自旋在这个方向上或者是 +1/2，或者是 -1/2。你换个方向再问，它又是同样完整地表态。
如果强行打个比方，电子就相当于是这么一位“老张”。你问老张支持美国哪个党，老张说我是个全职的政治活动家，我一半的时间全力以赴支持共和党，一半的时间全力以赴支持民主党。然后你又问老张是否相信全球变暖学说，老张说我是个全职的气候运动活动家，我一半的时间全力以赴宣传全球变暖学说，一半的时间全力以赴反对全球变暖学说。
老张能同时拥有两种相反的立场，这已经够神奇的了 —— 可是更神奇的是，他为什么不管干啥都是“全职”呢？他到底全职搞政治还是全职搞气候运动？老张到底是干啥的呢？
电子干啥，完全取决于你怎么问它。理解了这一点，现在可以说说到底该如何理解量子力学现象了。
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这个很后来才有的、更深刻的理解，叫做“冯·诺依曼投影公设（projection postulate）”。它出自数学家和物理学家、计算机之父、博弈论之父，约翰·冯·诺依曼（John von Neumann）。
第一，每个量子态，都可以展开成一系列基本的量子态的叠加 ——
第二，一次实验观测之后，系统就“坍缩”到其中某一个态 e_i。而到底坍缩到哪个态，由系数 c_i 的绝对值的平方决定。
第三，从此之后，系统就一直处于 e_i 这个态。但如果这个 e_i 态还有不确定性，系统就可以再次被观测到别的态，方法仍然是用量子态叠加展开。
根据这个理解，薛定谔的波函数是什么呢？那无非就是量子态在位置和动量这两个视角上的连续叠加展开。为什么电子打在屏幕上就变成粒子了？因为不确定性消失了，没有叠加态了。为什么 z 方向上已经表过态的电子还能在 x 方向上再表一次态？因为不确定性还在，还能继续展开成叠加态。
量子力学是表态的科学，实验是对不确定性的操弄。
