用四元数来表示向量，令标量部分为0，仅保留其矢量部分，易得向量的模就是四元数的模，还有四元数乘积的标量部分就是点积，矢量部分就是叉积。
点积和叉积用四元数表示，反映了乘法的非交换性。看起来像张量中的对称化算子和反对称化算子的那种形式。
点积和叉积的几何关系，模长，夹角。
于是，四元数乘积的模就可表示为点积和叉积模平方之和
其他的性质，点积的对称性，线性，叉积的反对称性，线性。
三元标积，所谓的混合积，反对称化后，再进行对称化。其轮换对称性，源于四元数乘法对标量部分的保持。通过共轭，实现反序和反号。
特别的，混合积可以说明叉积对于原矢量的正交性。
双叉积的推导，得到著名的公式。远正近负。
向量的双叉积公式仅依靠向量自身很难推导，要通过行列式运算，复杂易错。通过四元数就比较方便自然。
这一节回顾了三维向量分析的知识，通过四元数代数给出了叉积的简洁形式，通常的书中往往通过另一种方式，也就是外积的形式给出叉积的计算公式，往往要涉及行列式，复杂难懂。
不过，四元数的作用也是有限的，遇到更高维的情况就很难奏效，毕竟它本质上是数和三维矢量的结合体。不过，这其实也反映了某种不对称性，也就是说四维是性质突变的维度，就像复数作用于二维，那样。代数性质变化的不连续性体现了自然的某种偏好。
至于这种变化是表象还是本质，还需要更多的证据。但是，维度的整数性，本身就包含了对有限群论，整数论某些结果的支持。那些看似奇怪的定理，将会以一种更匪夷所思却合乎逻辑的客观事实反映在对应维度的空间中。这也算一种数学的现实意义。数学由于其条件的极端约简，适用范围往往会超出人的想象力，极简的条件约束，会导致结果的不断推广，直至某个性质突变的边界线。
艺术想象突破现实被认为是新奇的，而理性突破想象力却往往让人不敢置信，因为前者人们都知道是假的，而后者往往是真的。
第一章结束了，很快，同时也感觉没有得到什么神奇的体验，所以，决定继续往下看，直到感受到真正的冲击性的事实。
还有，检索资料时，看到有人在唱衰四元数，说什么向量就足够了，四元数不过是向量的脚手架，用完即弃也没有关系，这显然是一种误解，如果反对者是专注于数学结构研究的话，那确实是没有多大区别，向量构成的是线性空间，复数也好，四元数也罢，不过是在线性空间上定义了乘法，从而构成了代数，关于代数的各种性质，比如交换性，恒等元等等，都可以很容易获得，可以说没什么可研究的，甚至于大多数的领域对数学而言都是没什么研究价值的。但是，这就像对复数的误解一样，总有人认为复数不过是代数上的加加减减，学完了所谓的复变函数就行了，结果，复数与现实结合之紧密，对客观现象刻画之简洁精确却是书本学不到的，因为书本是搞数学的出的，现实意义不是他们关心的事情，我想大多数人更多的是与现实打交道，如果确实有容易理解而用处广泛的理论，自然也不会去拒绝它。同理，四元数与现实的结合仍在进行之中，尤其是相对论物理学中对四维空间的描述，还有对三维转动的描述，相信之后随着三维技术的发展，乃至四维技术的发展，四元数还会有更多的用途。
向量不好用，为什么会这样？因为向量空间结构太简陋了，只有平移和放缩，容纳不了太多的运动，碰到旋转就没辙了，得依靠额外的结构，为什么？因为旋转本身是乘法，如果仅仅依靠向量空间，就只能通过空间的变换来实现，那就是线性变换了，可表示为对应基底下的矩阵，矩阵的参数太多了，旋转本身是一个操作，却使用多至n^2个参数来描述，这就太浪费了，而且对人而言劳动量也增大了很多，难记难用，我现在都不记得二维旋转矩阵的具体形式，但我能迅速写出用复数描述的旋转的形式。找了一下，大概是这样子。
复数和二维反称矩阵同构，是代数同构，包括线性结构和乘法结构。
这就是为什么尽管有旋转矩阵的标准方法，人们却往往使用复数来表示二维旋转，用四元数表示三维旋转，因为操作一次只用改变很少的参数，而效果却是一样的。
