3月31日数职一年级

学习任务

分段函数情境

例1：我国是一个缺水的国家，很多城市的生活用水远远低于世界的平均水平，为了加强公民的节水意识，某城市制定了每户每月用水收费（含用水费和污水处理费）标准（如下图）

水费种类	用水量不超过 $10m^3$ 的部分	用水量超过 $10m^3$ 的部分
用水费/( $元/m^3$ )	1.30	2.00
污水处理费/( $元/m^3$ )	0.30	0.80

试写出每户每月用水量 $x(m^3)$ 与应交水费 $y$ （元）之间的函数解析式。

解：
$f(x) = \begin{cases} 1.6x&0<x\leqslant10 \\ 2.8x-12&x>10 \end{cases}$

知识点

分段函数：这个函数在自变量的不同取值范围内，需要用不同的解析式来表示，我们把这种函数叫做分段函数。它的定义域是自变量的各个不同取值范围的并集。

应用技巧：求函数值 $f(x_0)$ 时，首先应该判断 $x_0$ 所属的取值范围，然后再把 $x_0$ 代入相应的式子中进行计算。

例题讲解
例2：某考生计划步行前往考场，出发后经过 $0.5h$ 走了 $2km$ ,估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车又经过 $0.25h$ 提前搞到了考场，设出租车的平均速度为 $30km/h$ 。
（1）写出考生经过的路程 $s$ 与时间 $t$ 的函数关系；
（2）作出函数图像；
（3）出考生出行 $0.6h$ 时所经过的路程。
解：
（1）考生不行的速度为
$v=\frac {2}{0.5}=4(km/h)$
故步行时的路程为
$s=4t$
改乘出租乘车后为
$s=2+30(t-0.5)=30t-13$
故考生经过的路程 $s$ 与时间 $t$ 的函数关系为
$s=\begin{cases} 4t & 0 \leqslant t <0.5 \\ 30t-13 & 0.5\leqslant t \leqslant 0.75 \\ \end{cases}$
（2）在同一直角坐标系中，作出函数 $s=4t(x \in [0,0.5))$ 与函数 $s=30t-13(x \in [0.5,0.75])$ 的图像

函数图像

（3）由于，故考生出行所经过的路程为

例3：某人计划靠墙围一块矩形养鸡场（如下图），他已备足了可以围 $10m$ 长的竹篱笆，问矩形的长和宽各是多少时场地的面积最大？最大面积是多少？
解：设矩形场地的长为 $x(m)(0<x<10)$ ,宽为 $y(m)$ ，则由题意知 $x+2y=10$ ，即 $y=\frac12(10-x)$ 。于是，场地的面积为

$S \begin{aligned} \\ &=x\cdot y \\ &=x \cdot \frac12(10-x) \\ &=-\frac12x^2+5x \\ &=-\frac12(x^2-10x+25)+\frac{25}{2} \\ &=-\frac12(x-5)^2+\frac{25}2 \\ \end{aligned}$
故当 $x=5m$ 时，场地面积有最大值，为 $12.5m^2$ ，此时宽为
$y=\frac12(10-5)=2.5(m)$
所以当矩形场地的长为 $5m$ 、宽为 $2.5m$ 时，面积最大，最大面积为 $12.5m^2$

课堂练习

已知函数
$f(x)= \begin{cases} 2x+1 & x \leqslant 0 \\ 3-x^2 & 0<x\leqslant 3 \end{cases}$
（1）求 $f(x)$ 的定义域
（2）求 $f(-2)、f(0)、f(3)$ 的值。

作业

已知函数 $f(x)=\begin{cases} \sqrt{x-1}&x \geqslant1 \\ 1 &x<1\\ \end{cases}$ 则 $f(5)=$ ( )
$A.0 \quad B.1 \quad C.2 \quad D.不存在$
函数 $f(x)=\begin{cases} 3x & -1<x \leqslant 0 \\ x^2+1 & 0<x<3\\ \end{cases}$
$A.(0,3) \quad B.(-1,0) \quad C.(-1,3) \quad D.[-1,3]$
函数 $f(x)=\begin{cases} x^2 & x < 0 \\ x+1 & x\geqslant 0 \\ \end{cases}$
已知 $f(x)=\begin{cases} 1 & x < 0 \\ -1 & x\geqslant 0 \\ \end{cases}$
则函数的定义域是______, $f(-2)=$ ______。

5.函数 $f(x)=\begin{cases} -\frac3x & x < -1 \\ x^2-1 & -1\leqslant x < 0 \\ \end{cases}$
则函数的定义域是______。

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