【多项式拟合法】证明不等式

设 f(x)在[0,1]上有二阶连续导数，且f(0)=f(1)=0，[0,1]上f(x)的最小值为-1，证明[0,1]上f''(x)的最大值≥8。

• 题干需要证明的关键点：∃ξ 使 f''(ξ) - 8 ≥ 0

等价于证明 ∃ξ 使f''(ξ) - g''(ξ) ≥ 0 ( 其中g’‘(ξ)是与8相等的数 )

设g(x) = 4x²+bx+c 。其中，b和c无论是什么，不影响g''(x)=8的结果，因此选择通过g(x)该多项式去拟合f(x)，通过f(x)在题干中给定的信息来确定b,c的值。

题干中的信息：

①f(0)=f(1)=0 ②∃x_m 使 f(x_m)=-1

因此，g(x) 也应当拟合该两点信息，使得:

① g(0)=g(1)=0 ②∃x_m2 使 g(x_m2)=-1

列方程：

① g(0) = c = 0
② g(1) = 4+b+c = 0
③ g(最小值点) = 二次函数最小值公式 = -1 (其实在①②满足情况下，该条已满足)

=> 得到 g(x) = 4x²-4x

拟合完成，接下来进行题干的证明：

令G(x) = f(x) - g(x) => G''(x) = f''(x) - 8

因此，题干转化为了证明 ∃ξ 使得G''(ξ) ≥ 0。

证明方法：利用罗尔定理

① G(0) = G(1) = 0

② (隐含条件) ∃η∈(0,1) 使得G(η) = f(η) - g(η) = 0 (可通过几何方式或反证法证明f(η)与g(η)必存在交点)

0、1、η 三点函数值相等，区间内又满足连续且有二阶导，因此 ∃ξ 使得G''(ξ) = 0
=> ∃ξ 使得G''(ξ) ≥ 0