兼具拓扑空间与群结构，结果，性质就显得非常优越。
群是一种运算划分结构，通过群乘法诱导出的算子作用，把集合划分为多个循环部分。
拓扑空间是一种集合联络，对应于特定联络函数问题的解，联络的图像为树或者图，一般联络函数问题属于层与赋值理论。
就像一幅图画，黑色对应几何形，白色对应几何形，彩色对应几何形，这就是图像赋值，这种图像赋值可以诱导出图像拓扑。
那么，拓扑群就可以看做群作用集合生成的自同态族，或者群算子作用图的联络问题解。
这是拓扑群理论的拓扑视角，另一种则是拓扑群理论的群视角，即对给定联络施加群作用获得的理论简化。
由此，拓扑群就是群骨架上的联络理论，也是拓扑空间上的群作用理论。
主要应用于代数拓扑理论，微分流形与李群，线性代数群。进一步推广，则是代数群，p群，伽罗瓦群，算子群等抽象群理论。
这里同样使用了拓扑层级的说法，以离散拓扑，有限拓扑统领抽象群作用，以连续拓扑，无穷拓扑涵盖具象群作用。
具体的理论演绎就很繁琐了，主要是基础没有建好，本质的做法为群作用的传递性，集合分解，分解精细度，同拓扑性质的交换性，分布式子空间拓扑，分支联通性，局部整体传递性，空间复叠与周期性，所以，拓扑群的印象为，群作用下的多周期函数。
每一个周期部分相同，整体的几何却有差异，可以看做群流形。每一点皆为群结构的整体流形。与之对比的是微分流形，每一点皆为欧氏空间的整体流形。
在代数几何中为函数环流形，每点附着局部函数环，或为分式，多项式，或为全纯，半纯。
如此，一般流形论就道尽了。
