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3.3 线性方程组的求解

线性方程的求解问题可以分为两类：一类是方程组求唯一解或求特解，另一类是方程组求无穷解，即方程组的通解。在进行方程组的求解运算之前可以根据系数矩阵的秩来判断方程组解的存在情况。
（1）若系数矩阵的秩r=n（n为方程组中未知变量的个数），则有唯一解；
（2）若系数矩阵的秩r<n，则可能有无穷解；
线性方程组的无穷解 = 对应齐次方程组的通解+非齐次方程组的一个特解；其特解的求法属于解的第一类问题，通解部分属第二类问题。

3.3.1 利用矩阵除法求线性方程组的特解（或一个解）

利用矩阵除法求解线性方程组的形式为：AX=b，其中A为求解向量X的系数矩阵，b为线性方程组右侧的常数。使用MATLAB矩阵除法，即X=A\b即可得到线性方程组的解。在这种情况下通常需要首先判断稀疏矩阵是否为满秩阵，否则无法求解。

【例3.36】求方程组AX=b的解。
首先在命令窗口中输入方程组的系数矩阵A和b，如下所示：
>> A=[1 2 3 4 5;5 3 4 8 5;6 8 7 6 9;2 6 8 2 1;2 7 9 3 9];
>> b=[1 0 0 0 1]';
在进行求解方程组之前可以通过函数rank判断方程组的情况，在命令窗口中输入：
>> R_A=rank(A) %判断方程组解的情况
返回结果如下：
R_A = 5
上面返回的结果表明该方程组有唯一解，可以通过不同的方法对该方程组进行求解。
①直接求解，X=A\b。在命令窗口输入：
>> X=A\b
得出方程组的解如下：
X = -0.5241 0.1888 -0.0825 0.2476 0.0808
②用函数rref求解。首先生成矩阵C，在命令窗口中输入：
>> C=[A,b]
然后可以调用函数rref进行方程组的求解。在命令窗口输入：
>> R=rref(C)
求的方程组的解，为R的最后一列元素，如下所示：
R = 1.0000 0 0 0 0 -0.5241 0 1.0000 0 0 0 0.1888 0 0 1.0000 0 0 -0.0825 0 0 0 1.0000 0 0.2476 0 0 0 0 1.0000 0.0808

3.3.2 LU分解求线性方程组的解

矩阵的LU分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式。线性代数中已经证明，只要方阵A是非奇异的，LU分解总是可以进行的。

MATLAB提供的lu函数用于对矩阵进行LU分解，该函数的调用格式在前节已经进行了讲述。

LU分解又称Gauss消去分解，A=LU，L为下三角阵，U为上三角阵。因此，AX=b变成LU*X=b，所以X=U(L\b)，这样可以大大提高运算速度。

【例3.37】求方程组AX=b的解。
首先在命令窗口中输入以下内容，生成矩阵A和b。
>> A=[5 3 4 8 5;6 8 7 6 9;2 6 8 2 1;2 7 9 3 9;4 5 6 7 8];
>> b=[1 0 0 0 1]';
然后对矩阵A进行LU分解，在命令窗口中输入以下内容：
>> [L,U]=lu(A) %对矩阵A进行lu分解
最后命令窗口中输入以下内容：
>> X=U\(L\b) %求得方程组的解
求得方程组的解如下：
X = -0.5397 0.2809 -0.1912 0.4985 -0.0735

3.3.3 Cholesky分解求线性方程组的解

如果矩阵A是对称正定的，则Cholesky分解将矩阵A分解成一个下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。设上三角矩阵为R，则下三角矩阵为其转置，即A=R'R。MATLAB函数chol(X)用于对矩阵X进行Cholesky分解，该函数的调用格式为见前节所述。因此，方程AX=b变成R'R*X=b，所以X=R(R'\b) 。

【例3.38】求方程组AX=b的解。
首先在命令窗口中输入以下内容，生成矩阵A和b。
>> A=pascal(7);
>> b=[1 0 0 0 1 1 1]';
然后对矩阵A进行Cholesky分解，在命令窗口中输入以下内容：
>> R = chol(A) %对矩阵A进行Cholesky分解
在命令窗口中输入以下内容，即可得到方程组的解。
>> X=R\(R'\b) %求得方程组的解

3.3.4 QR分解

对矩阵A进行QR分解，就是把A分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积形式。对于任何长方矩阵A，都可以进行QR分解。即：A=QR。MATLAB的函数qr可用于对矩阵进行QR分解，该函数的调用格式见前节所述。因此，方程A*X=b变形成QRX=b，所以X=R(Q\b)。

【例3.39】求方程组AX=b的解。
首先在命令窗口中输入以下内容，生成矩阵A和b。
>> A=[1 2 3 4 5 6 7 8;2 3 4 5 6 7 8 9;3 4 5 6 7 8 9 0]';
>> b=[1 2 3 4 5 6 7 8]';
然后对矩阵A进行QR分解，在命令窗口中输入以下内容：
>> [Q,R] = qr(A) %对矩阵A进行QR分解
最后在命令窗口中输入以下内容，即可以得到方程组的求解结果
>> X=R\(Q\b) %求得方程组的解

注意：以上所介绍的LU分解、Cholesky分解和QR分解，在求解大型方程组时很有用，其优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节省内存。

3.3.5 求线性齐次方程组的通解

在Matlab中，函数null用来求解零空间，即满足A·X=0的解空间，实际上是求出解空间的一组基（基础解系）。该函数的调用格式如下：

Z=null(A,'r') 返回Z的列向量是方程AX=0的有理基

【例3.40】求方程组AX=0的通解。
首先在命令窗口中输入以下内容，生成矩阵A。
>> A=[1 1 1 1 1 1;2 3 4 5 6 6;3 3 3 3 3 3;4 5 6 2 3 4;3 4 6 8 8 5;2 3 4 5 1 1];
在进行求解方程组之前可以通过函数rank判断方程组的情况，在命令窗口中输入：
>> rank(A) %判断方程组解的情况
返回结果如下：
ans = 5
上面返回的结果表明该方程组有解，可以使用null函数求得方程组得有理基，在命令窗口中输入：
>> B=null(A,'r') %使用null函数求得方程组得有理基
求得方程组得有理基如下：
B = 3.0000 -5.8000 2.6000 0.2000 -1.0000 1.0000
得到方程组的基后还可以通过以下方式写出其通解：
>> syms k1
>> X=k1*B
X = 3*k1 -29/5*k1 13/5*k1 1/5*k1 -k1 k1

3.3.6 求非齐次线性方程组的通解

非齐次线性方程组需要先判断方程组是否有解，若有解，再去求通解。具体步骤为：
判断AX=b是否有解，若有解则求AX=b的一个特解，然后在求得AX=0的通解；（AX=b的通解）=（AX=0的通解）+（AX=b的一个特解）。

【例3.41】求方程组AX=b的通解。
首先在命令窗口中输入以下内容，生成矩阵A和b。
>> A=[1 1 1 1 1 1;2 3 4 5 6 6;3 3 3 3 3 3;4 5 6 2 3 4;3 4 6 8 8 5;2 3 4 5 1 1];
>> b=[1 2 3 4 5 0]';
在进行求解方程组之前使用函数rank判断方程组的情况，在命令窗口中输入：
>> rank(A) %判断AX=b是否有解
返回结果如下：
ans = 5
在用函数rref求解之前，先生成矩阵B，在命令窗口中输入：
>> B=[A,b]
然后可以调用函数rref进行方程组的求解。在命令窗口输入：
>> C=rref(B)
接着使用函数null求AX=b的一个特解。在命令窗口输入：
>> D=null(A,'r')
最后可以求得AX=b的通解。在命令窗口输入：
>> syms k
>> X=k*D+C
X = 3*k+3 -29/5*k-29/5 13/5*k+13/5 1/5*k+1/5 -k-1 k+1

作者：德特数据
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