数学文化与数学思维的融通
——以跨年级单元“数的认识”教学为例
一、引言
数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会政治、经济和一般文化的联系，将其应用于数学教育具有多元的教育价值。以1976年国际数学史与数学教育研究小组（HPM）的成立为起点，共同体提倡教育中数学史的应用已有近50年的历史，特别是从数学史的教育价值维度出发。尽管在21世纪前已关注到了数学史的教育价值，但中国大陆HPM的实践与研究起步较晚，2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》对数学文化与数学史的重视及其全面推行，引发了中小学的数学文化热。
基于上述现实背景，作为数学文化重要组成部分的数学史才开始由书斋、象牙塔走进中小学课堂。短短的十几年，中国的HPM在实践与理论的互动中，形成了以共同体支持下的HPM课例开发为核心的教学实践与教师专业发展的特色之路。然而，我国的小学HPM还存在一些问题，教育取向的数学史匮乏、“评价高、水平不高的应用”、实证研究不足与研究含量不高，这严重制约着基于数学史的数学文化深入课堂。因此，本文以“自然数的认识”大单元为例，在建立基于数学史的小学数学文化教学的层次的基础上，就基于数学史的数学文化如何深入课堂进行论述。
二、基于数学史的小学数学文化教学的层次
将数学史融入数学教学有不同的方法，中国大陆有附加式（展示有关的数学家图片，讲述有关数学故事等，去掉后对教学内容没有太大影响）、复制式（直接采用历史上的数学问题、解法等）、顺应式（根据历史材料，编制数学问题；或对历史上的思想方法进行适当改编）、重构式（借鉴或重构知识的发生、发展历史），这四种方式的应用水平由低到高。
中国台湾有三种手法，也是运用数学史的三个层次：（1）说故事，对学生的人格成长会有所启发作用；（2）在历史的脉络中比较数学家所提供的不同方法，拓展学生的视野，培养全方位的认知能力与思考弹性；（3）从历史的角度注入数学知识活动的文化意义，在数学教育过程中实践多元文化关怀的理想。
上述两种分类虽有差别，但可以对应起来。从与数学知识、数学思维和文化的联系紧密程度来看，附加式与（1）可以与数学知识相剥离，所涉及的文化是片段式的，可以不涉及数学思维，其目的仅仅是激发学生学习兴趣，对学生的人格进行熏陶。因此，这是基于数学史的小学数学文化教学的第一层次——为了文化而文化。比如，在“圆的周长”一课中介绍祖冲之的生平、对圆周率计算的贡献及其计算圆周率的艰辛与孜孜不倦，借此鼓励学生要不畏艰难、坚持不懈，激发学生的爱国热亲，但这一介绍与圆的周长内容本身的学习无关，对学生思维的发展没有影响。复制式、顺应式与（2）所指向的对象本身就是知识、方法、思想等，需要以数学知识为载体，重视的是数学思维的发展，所涉及的文化也是片段式的，其主要目的是为了学生的理解和思维发展。因此，这是基于数学史的小学数学文化教学的第二层次——为了数学思维的数学文化。比如，“圆的认识”一课中引入《墨经》《几何原本》中圆的定义，“圆，一种同长也”、“圆是由一条线围成的平面图形，其内有一点与圆上的点连接成的所有线段都相等”，让学生分析、对比，以更好地认识圆的本质，发展学生的抽象能力。重构式与（3）都是建立在数学文化脉络上的数学学习，将数学内容赋予文化的意义，将数学文化建基于数学内容之上，既注重数学的思维，又关注数学的文化性，强调数学思维与数学文化的融通。这是基于数学史的小学数学文化的最高层次——数学文化与数学思维的融通。比如，“圆的周长”一课，让学生经历直观几何、实验几何、演绎几何的发展历程：学生首先通过观察大小不等的圆，猜测圆的周长可能与圆的直径或者半径有关；然后，通过测量的方法发现圆的周长和直径的比值接近3.14；然后，在老师的指引下经历圆内接正多边形边数成倍增加的过程，感知圆周率从《周髀算经》中的“周三径一”，到《刘徽注九章算术》的3.14，到祖冲之的3.1415926-3.1415927的变化过程及背后数学家的付出与动因，理解以直代曲的极限思想。
三、数学文化与数学思维融通的路径
基于数学史的数学文化不应成为数学课堂的点缀，也不应仅仅关注披着数学文化外衣背后的数学思维，只有数学文化与数学思维深度融合，基于数学史的小学数学文化课堂才能真正实现学科育人的价值。怎样才能实现数学文化与数学思维的融通？需要我们从数学文化脉络梳理中找出知识发生发展的关键几步，在大概念的指引下梳理知识本质，从内容主线中锚定体现知识本质的核心知识点，在数学文化脉络中引导学生进行核心内容的探究。
（一）从数学文化脉络梳理中找出知识发生发展的关键几步
人有两个本能，对数量多少、距离远近的感知。因此，人类很早就进行了计数和记数，且无论是用身体、自然物品、人造物品，还是用诸如刻痕的抽象符号，背后都是一一对应原理。此时，物体的数量虽能表示出来，但数量究竟有多少却无从谈起。进入到人类文明时期，各文明不约而同地开始用半抽象、抽象的符号记数，但不能每一个数量都创造一个新的符号表示，各种进制开始出现。人类开始采用叠加的方法记数，叠加法的优势是不需要考虑表示数位的符号的先后顺序，但每当遇到较大数的表示时，就需要不断地创造表示数位的符号。表示数位的符号不可能无休止的创造下去，中国古人以天才的智慧创造了位值制，相同的数在不同的位置上所表示的大小不同，这样只需要表示0-9（筹算数码中没有表示0的符号，古人借助横纵数码的交替使用和题目背景识别代表0的空位个数）的十个数字就可以把所有的自然数表示出来。将十进位值制推向世界的是阿拉伯数学家，他们将印度数码传到了欧洲，从而为世界所知。
由上可知，自然数发展到今天的“印度-阿拉伯”数码经历了从一一对应到抽象的符号，从较小数的表示到较大数的表示过程（如图1），在这一发展过程中解决了三个关键的问题：为什么从一一对应走向抽象的符号？如何从较小数的表示走向较大数的表示？今天数的表示只有一种方法吗？也正是这三个问题的解决将自然数的读与写推向了简约，进而简化了数学运算，极大地推动了数学的发展。
（二）在大观点的指引下厘定知识本质
大观点（Bigidea）是在学生学习中居于中心地位的，且能将多样化的数学概念联结为统一整体的那些清晰的、主要的概念。它变知识的碎片化为系统化，将系统化的知识用核心概念统摄起来。在小学阶段自然数的认识中，十进位值制计数法是联结各主题的大观点，只要使用数字0-9、以十为一组、位值记录就可以把所有的数表示出来，这也是自然数十进表示的核心所在，能够真正体现自然数的认识的本质。去掉“小学阶段”这一限制条件，从自然数的表示来看，任意进制都可把所有的自然数表示出来，当用n进制时，只需0至n-1这n个自然数、以n为一组，位值记录即可。
（三）从内容主线中锚定体现知识本质的核心知识点
内容主线是教材内容编排的主要内容与顺序，《义务教育数学课程课程标准（2011年版）》中与自然数的认识和表示相关的内容主要有万以内数的认识、万以上的数的认识，涉及数的认、读、写，数位、十进制计数法等内容。在这些内容中，0-9的认识、万以内数的认识、大数的认识是最能够体现知识本质的核心知识点，其中，0-9的认识对应“用符号表示数”，万以内数的认识和大数的认识对应于“十进制的延伸与拓展”。因此，我们确定了“用符号表示数”（三年级）、“十进制的延伸与拓展”（四年级）、“其他进制的拓展”（六年级）为重点课。
“用符号表示数”用来回应“为什么从一一对应走向抽象的符号”，重在0到20间数的认识；“十进制的延伸与拓展”用来回应“如何从较小数的表示走向较大数的表示”，重在十进制计数法的认识和大数的表示；“其他进制的拓展”用来回应“今天数的表示只有一种方法吗”，重在各种联系与迁移。这样的整体设计，将“自然数的认识”整合成一个跨年级的“大单元”。
（四）在数学文化脉络中引领学生进行活动探究
探究活动的设计与实施是基于数学史的小学数学文化教学的关键，唯有探究，学生才能走进数学文化脉络。在探究中，学生与文化对话，从而感受探究之乐、知识之谐、文化之魅，品味方法之美，获得能力之助，发展德育之效。
在上述核心知识点的教学中，教师参照自然数产生的历史、历史上的各种数码、大数的表示方法、进制的历史设计探究活动。以下是三节课中的探究活动片段。
1.“用符号表示数”
教师播放微视频，介绍古人手指、石子、树枝、刻痕计数，学生了解这些计数方法和背后的原理——一一对应后，呈现探究活动1（如图2）:如果你回到古代，那时候还没有阿拉伯数，你会如何表示这些糖果的数量？
图2
学生探究，教师呈现了学生代表性的作品，引领学生比较学生设计的符号及其优劣后。接着，呈现了探究活动2，认识、运用古埃及象形数字（图3）表示图2中糖果的数量，引导学生认识叠加法，感受更大数的表示需要继续创造数位。随后，认识、运用中国古代的算筹（图4）并表示图2中糖果的数量，引导学生认识十进位值制，感受十进位值制计数法的特点。
图 3 古埃及象形数字（公元前3400年左右）
图4 中国筹算数码（公元前500年左右）
2.“十进制的延伸与拓展”
教师引领学生重走自然数的生成之路，计数单位从一、到十、到百、到千，从一一对应走向十进制后，呈现中国的甲骨文数字（如图5），让学生探究48、2025的表示方法，利用这些数字最大能表示多少，以认识十进制的叠加法的特点，无需考虑数字的先后顺序，当遇到较大数的表示时，需要创造数位；呈现算筹，让学生探究48、2025的表示方法，进而认识到十进位值制的优势；在数位表中呈现数字，让学生识读，学生掌握了万级、亿级后，继续呈现超过12位的数字，让学生探究如何识读？从而引出更大的数级——京级、垓级、姊级……
3.“五花八门的进制”
呈现十进算盘后，将十进、十六进算盘摆在一起，引导学生进行十六进制创造的探究活动后，进一步引导学生进行十六进制、其他进制计数器创造的探究活动，以了解各种进制的计数规则。最后，进行十六进制基数创造的探究活动，特别是10、11、12、13、14、15的十六进制表示，借此了解各种进制的计数方法。
四、结语
基于数学史的小学数学文化的教学已有十几年的历史，要实现由进入课堂到深入课堂的转变，我们就不能为了文化而文化，也不能仅给数学思维披上数学文化的外衣。
我们需要数学文化与数学思维融通，借鉴历史，寻找那些“不能跨越”的思维节点，再以探究活动为载体，在数学文化的脉络中让学生经历“再创造”的过程，培育学生的数学思维。同时，这一数学思维培育的过程，也恰恰是彰显数学的文化性的过程。
基于数学史的小学数学文化的教学最终目的是促进学生的深度学习，发展学生的核心素养，真正彰显数学学科育人的价值。
