【科普】量子计算通识-3-CNOT可控非门

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以下内容参照微软研究院主题演讲《Quantum Computing for Computer Scientists（计算机科学家量子计算导读）》的结构进行整理和扩充的。
本篇是第三部分。上一篇【科普】量子计算通识-2

经典逻辑门

目前的通用计算机都是基于逻辑门电路来实现的。关于逻辑门电路，你可以参照【量子计算通识】文章中索引的【经典计算机】小专题。

运算的本质是对输入的信息进行修改，然后再输出。晶体管逻辑门电路的本质一种运算，电流进入之后绕来绕去会被改变成不同的电流，然后再输出。

经典计算机对于单个比特位的操作有四种：不变，翻转（0和1翻转，即非门NOT），等0（强制输出0），等1（强制输出1）。

而对于两个比特，经典计算机有多重操作，如：

与门AND，两者都是1结果才是1；
或门OR，两者有一个是1结果就是1；
与非门NAND，两者都是0结果才是1；
异或门XOR，两者不相同结果才是1；

可控非门CNOT

可控非门CNOT是量子计算的最根本操作，也可直接把它称为量子逻辑门。

解释起CNOT门有一点麻烦，所以我们先从数学角度看，门就是一种操作，比如之前我们把经典比特位的四种操作都转换成了向量位运算：

不变操作就是乘以单位矩阵：
$\begin{pmatrix}1,0\\0,1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_0\\x_1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}x_0\\x_1\end{pmatrix}$
翻转操作就是乘以单位翻转矩阵：

$\begin{pmatrix}0,1\\1,0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_0\\x_1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}x_1\\x_0\end{pmatrix}$

等于0操作：

$\begin{pmatrix}1,1\\0,0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_0\\x_1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$

等于1操作：

$\begin{pmatrix}0,0\\1,1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_0\\x_1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$

那么，我们定义CNOT门就是乘以下面的矩阵：
$\begin{pmatrix}1,0,0,0\\0,1,0,0\\0,0,0,1\\0,0,1,0 \end{pmatrix}$

注意这不是单位矩阵，它把第三行和第四行交换了。结果会怎样？前两项不变，后两项颠倒，具体如下：

$\begin{pmatrix}1,0,0,0\\0,1,0,0\\0,0,0,1\\0,0,1,0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}$

这有什么意思？(0,0,1,0)这是一个四维向量，是个乘积态，它可以被分解成两个二维向量的张量积。我们把CNOT运算简单记作C，就有：

$\begin{align} C|10>=& \begin{pmatrix}1,0,0,0\\0,1,0,0\\0,0,0,1\\0,0,1,0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}1\\0 \end{pmatrix} \end{pmatrix} \\=& \begin{pmatrix}1,0,0,0\\0,1,0,0\\0,0,0,1\\0,0,1,0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\0\\1\\0 \end{pmatrix}\\=& \begin{pmatrix}0\\0\\0\\1 \end{pmatrix}\\=& \begin{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix} \end{pmatrix}=|11> \end{align}$

简化一下：

这里注意，我们通过CNOT操作，把|10>变成了|11>。

CNOT对两个向量位的操作四种情况如下：

$C|00>= \begin{pmatrix}1,0,0,0\\0,1,0,0\\0,0,0,1\\0,0,1,0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0 \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}1\\0 \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1,0,0,0\\0,1,0,0\\0,0,0,1\\0,0,1,0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\\0\\0\\0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0 \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}1\\0 \end{pmatrix} \end{pmatrix} =|00>$

$C|01>= \begin{pmatrix}1,0,0,0\\0,1,0,0\\0,0,0,1\\0,0,1,0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0 \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1,0,0,0\\0,1,0,0\\0,0,0,1\\0,0,1,0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\1\\0\\0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\1\\0\\0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0 \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix} \end{pmatrix}=|01>$

$C|10>= \begin{pmatrix}1,0,0,0\\0,1,0,0\\0,0,0,1\\0,0,1,0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}1\\0 \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1,0,0,0\\0,1,0,0\\0,0,0,1\\0,0,1,0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\0\\1\\0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\\0\\1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix} \end{pmatrix}=|11>$

$C|11>= \begin{pmatrix}1,0,0,0\\0,1,0,0\\0,0,0,1\\0,0,1,0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1,0,0,0\\0,1,0,0\\0,0,0,1\\0,0,1,0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\0\\0\\1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\\1\\0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}1\\0 \end{pmatrix} \end{pmatrix}=|10>$