高等代数理论基础33：二次型及其矩阵表示

二次型及其矩阵表示

n元二次型

定义：一个系数在数域P中的 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 的二次齐次多项式 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+\cdots+2a_{1n}x_1x_n$

$+a_{22}x_2^2+\cdots+2a_{2n}x_2x_n+\cdots+a_{nn}x_n^2$

称为数域P上的一个n元二次型,简称二次型

注： $x_ix_j(i\lt j)$ 的系数写成 $a_{ij}$ 以方便讨论

线性替换

定义：设 $x_1,\cdots,x_n;y_1,\cdots,y_n$ 是两组文字,系数在数域P中的一组关系式

$\begin{cases}x_1=c_{11}y_1+c_{12}y_2+\cdots+c_{1n}y_n\\ x_2=c_{21}y_1+c_{22}y_2+\cdots+c_{2n}y_n\\ \cdots\\ x_n=c_{n1}y_1+c_{n2}y_2+\cdots+c_{nn}y_n\end{cases}$

称为由 $x_1,\cdots,x_n$ 到 $y_1,\cdots,y_n$ 的一个线性替换,简称线性替换

若系数行列式 $\begin{vmatrix}c_{ij}\end{vmatrix}\neq 0$ ,则称该线性替换为非退化的

注：线性替换把二次型变成二次型

矩阵表示

令 $a_{ji}=a_{ij},i\lt j$

由于 $x_ix_j=x_jx_i$

所以二次型可写成

$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=a_{11}x_1^2+a_{12}x_1x_2+\cdots+a_{1n}x_1x_n$

$+a_{21}x_2x_1+a_{22}x_2^2+\cdots+a_{2n}x_2x_n+\cdots$

$+a_{n1}x_nx_1+a_{n2}x_nx_2+\cdots+a_{nn}x_n^2$

$=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^na_{ij}x_ix_j$

将上式系数排成一个 $n\times n$ 矩阵

$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}$

称为二次型的矩阵

因为 $a_{ij}=a_{ji},i,j=1,\cdots,n$

所以 $A=A'$

注：二次型的矩阵都是对称的

令 $X=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}$

则二次型可用矩阵的乘积表示

$X'AX=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}$

$=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\begin{pmatrix}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n\\ \vdots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n\end{pmatrix}$

$=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j$

故 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X'AX$

注：矩阵A中元素 $a_{ij}=a_{ji}(i\neq j)$ 正是 $x_ix_j$ 项系数的一半, $a_{ii}$ 是 $x_i^2$ 项系数,故二次型和它的矩阵相互唯一决定

若二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X'AX=X'BX$

且 $A'=A,B'=B$ ,则 $A=B$

令 $C=\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1n}\\ c_{21}&c_{22}&\cdots&c_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ c_{n1}&c_{n2}&\cdots&c_{nn}\end{pmatrix},Y=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}$

则线性替换可写成

$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1n}\\ c_{21}&c_{22}&\cdots&c_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ c_{n1}&c_{n2}&\cdots&c_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}$