驾驭无穷的勇士
1、阿基米德的浮力原理和杠杆定律。
2、圆周率
求解出圆周率π的值，是积分学取得的第一次胜利。
圆周率具有某些相互矛盾的属性。一方面，它代表秩序，这一点主要体现在圆的形状上，长久以来圆都被视为完美和永恒的象征。另一方面，圆周率又是无序的，看上去零落散乱，数字排列也没有明显的规律，或者至少我们尚未发现其中的规律。圆周率难以捉摸，神秘莫测，而且永远遥不可及。这种有序与无序的混合正是它的魅力所在。
有着阴阳二元性的圆周率就像整个微积分的缩影。圆周率是圆与直线之间的一扇门，是一个无限复杂的数，也是秩序与混沌之间的平衡。
3、立体主义与微积分
4、奶酪论证
奶酪论证阿基米德不会认同上面的这套戏法，而是通过另一种方法得出了同样的结果。他诉诸于一种微妙的论证方式，这种方式通常被称为双重归谬法或双重反证法。他证明了抛物线弓形的面积不可能小于4/3或者大于4/3，因此必然等于4/3。正如夏洛克·福尔摩斯说的那样：“在你排除了不可能的情况之后，[插图]剩下的无论多么不可思议，都一定是真相。”
在《抛物线求积法》中，阿基米德给出了非常类似的论证过程，以及一张画有不同大小正方形的图表，但他从未使用无穷或者上文中与之对应的三个点(…)来表示无穷级数和。更确切地说，他是从有限和的角度进行论证的，从而在严谨性上达到了无可指摘的程度。他的重要洞见是，通过将有限的轮数考虑得足够大，就可以让右上角的小正方形（余下待分配的部分）变得比任何给定的尺寸都小。通过类似的推理过程可以得出，只要n足够大，就能让有限和1+1/4+1/16+…+(1/4)n（每个人得到的奶酪总量）尽量接近4/3。所以，答案只能是4/3。
5、阿基米德方法
阿基米德最后提出了他的希望：“在现在和未来的几个世代中，某些人会利用这种方法，找到我们尚未掌握的其他定理。”这句话几乎让我热泪盈眶。这位无与伦比的天才在数学的无限性面前感到了自己生命的有限性，他认识到还有很多事情要做，即“找到我们尚未掌握的其他定理”。所有数学家都有这样的感觉，我们的研究课题永无止境，就连阿基米德本人也要俯首称臣。
接下来，阿基米德用一个等效点取代了外接三角形ACD的无穷多个肋条，这个点就是三角形的重心，它扮演了代替物的角色。对跷跷板来说，这就好比外接三角形ACD的全部质量都集中在单一的重心上。阿基米德在其他著作中已经证明，这个点就在线段FC上，而且它到支点F的距离恰好是线段SF长度的1/3。
然而，在这趟微积分的探索之旅中，曲线形状的几何特性只能带我们走到这里了。而我们还需要知道世界上的事物是如何移动的，比如，手术后人体组织会如何变化，血液如何流经动脉，球如何在空中飞行。对于这类问题，阿基米德只字未提。[插图]他给我们留下了关于物体在杠杆上如何达到平衡状态和在水中如何稳定漂浮的静力学，他是平衡方面的大师
