学习《微积分的力量》后不在惧怕数学，它与我们的生活息息相关，数学或许是我们了解身边事物的一条路径。当心存勇气的打开它，便有机会了解什么是微积分，更多地知道微积分对这个世界所产生的影响，以为微积分的运用现代社会变得和原始社会不一样。

因为读了《微积分的力量》内心有些后悔，当年早点知道微积分力量的内容，一定会更爱数学，更希望把数学学好。就像吴军老师讲的一样《数学之美》，微积分让我们感受到数学是如此美妙。

今天社会我们所能见到的种种方便，比如坐高铁、坐飞机、打电话、用全球定位系统（GPS）出行、用网站……它背后有很多算法，都是来自微积分的发明。没有微积分，这些事情都无法实现。

没有微积分的数学是什么数学呢？我们只能算匀速直线运动，匀速的我们可以算，变动的算不了了。这一个炮弹打出去，砰——到底打多远？它的速度从出膛到落地是不一样的。没有微积分这样的工具，无法准确地知道位置在哪儿，只能算平均数，看平均的速度大概是多少，瞬时速度是不知道的。

没有微积分很多的东西都无法实现。包括抗癌、抗艾滋病所用到的医学方法，全都是用数学的方式计算出来的。微积分被称作是上帝的语言，如果你不了解微积分，根本读不懂这个世界。

《微积分的力量》是康奈尔大学的应用数学系教授。他特别擅长把数学写得让大家能看得懂，简化公式，用简单的语言，让完全没有听过微积分的人能知道微积分有多么了不起，并且知道微积分到底是什么。

什么是微积分？微积让复杂的问题变得简单的一个方法。世界比我们想象得复杂得多，比如说这个杯子的形状，不是一个简单的形状，它很复杂。如果我们只用简单的平面几何、立体几何，是无法计算清楚的。微积分就有办法让它简单化，这个过程就是微积分的总体思路。方法是把复杂的问题切分成多个简单的部分，切分到什么程度？到无穷的程度。

在大脑里边能稍微加入一点点想象力，加入一个无穷的概念，就能立刻理解微积分是怎么回事。就像古人的测量田间地头分地，地是方的，弧形的、圆形的，古人就想了解圆到底应该怎么算。周长大家比较容易了解，周长是一个圆形的饼，拿一根绳子绕着它这么转一圈，把这个绳子拿出来一量，就知道这个圆的周长了。基本上古人是可以测量得出一个圆的周长的。怎么测量这个圆的面积？不能用绳子去测量圆的面积，必须得发现圆的面积公式。叫作π×d。把周长测出来，然后把直径测出来，用周长除以直径，得到的数就是π，π就是圆周率。那你有没有想过为什么面积会是πr²，而不是πd²？这是微积分的思想。一个圆想知道它的面积，怎么办呢？你想象像切西瓜一样，沿着它的中心，切成一牙一牙的西瓜。然后你把它掰开，上半截就变成了一个向下的锯齿，下半截就变成了一个向上的锯齿。把上半截和下半截对在一块儿，成了一个什么形状呢？类似于一个长方形。长方形的上边不是一条直线，而是一个一个的弧度。假如西瓜切到非常薄，薄到极限，那个弧度是不是就变成了一个一个的点？用弧度构成的这条边，是不是就变成了一条趋近于直线的东西？圆如果可以被切到无穷块，那它将会成为一个相当标准的矩形。请问这个矩形的高是多少呢？是半径。那个长的一边呢？是二分之一个周长，也就是πd÷2。πd÷2不就是πr吗？再乘以半径，得出是πr²。现在大家知道πr²是怎么来的了吗？通过切分想象出来的。古人能通过切分到无穷的程度，想象出来这么一个构造，解决了测量圆面积的问题，微积分的思想就形成了。

还没有用到牛顿和莱布尼茨发明的微积分的手段，微积分的思想实质是切分和重组，切分的过程叫微分，重组在一起叫积分。古希腊人特别喜欢研究数学，结果到了公元前250年左右，那个时候他们就已经有了微积分的思想，微积分不是一件很可怕的事，微积分主要的应用是解决三大谜题。一个叫曲线之谜，圆形怎么算？弧形怎么算？抛物线怎么算？一条抛物线这么抛出去，还会不会算这个抛物线下边的面积？微积分中是简单的一道题。给你一个抛物线的公式，能算出抛物线底下的面积，这叫曲线之谜。另一个叫运动之谜，世界上的匀速直线运动几乎没有，不可能见到哪个人是一直保持匀速直线运动的，他一定会有加速和减速的过程。运动之谜解决不了，你的炮弹打得就不准，无法准确地计算这个炮弹落下去在哪儿，这跟军事是有关的。

还有一个叫作变化之谜，比如说你体内的细胞增长了、减少了，这个变化的速率是不均匀的，用简单的加减乘除根本无法计算。过去经常非常狂妄地讲“我学了太多数学都没用”，到了社会上用到的数学公式基本上没有超过加减乘除，偶尔在买房的时候需要用到“平方”。“我从来不知道log是什么，照样过得很好”，太狂妄了。

世界上所有的人都不知道log是什么，肯定不会过得这么好，因为那些需要解决的问题，我们根本解决不了。像这三大问题：曲线之谜、运动之谜和变化之谜，跟我们的生活息息相关。没有微积分这样的工具都无从了解。

深入微积分，先从无穷概念，无穷是一个特别有意思的东西，你要知道无穷的魅力和危险。在《思想实验》芝诺说，阿喀琉斯永远追不上乌龟。乌龟比阿喀琉斯先出发1米，让阿喀琉斯去追乌龟，结论是阿喀琉斯永远追不上乌龟。为什么呢？他说在乌龟往前走一点的过程中，需要一个时间；阿喀琉斯追它也需要一个时间。当阿喀琉斯走到乌龟原来的位置，在相同时间内，乌龟也往前挪了一点点。

在下一个时间段，当阿喀琉斯又走到乌龟原来的位置，在相同时间内，乌龟又往前挪了一点点。结论出来了，阿喀琉斯永远追不上乌龟。有道理吗？这个命题我现在不挑战大家了，因为人类自古到今天，无法解释这个问题。数学家解释说，你不知道极限吗？乌龟每次走得少一点，少一点，少一点，加在一起，不会超过1。阿喀琉斯还论证说，你朝一面墙走，每次走1/2，永远走不到那面墙跟前。为什么呢？因为你要走到那儿去，必然走过中间的一半，你走过这个一半以后，必然得走过那个中间的一半，也就是1/4的地方。然后你得再走过1/8的地方、1/16的地方、1/32的地方……你永远都得走过你和这个墙中间距离的一半的位置。就算再小，你和墙之间都隔着一个微小的一半，走不到那面墙跟前去。这种想法会把人类折磨疯，听起来好像是走不过去，现实中你一下子就走到那儿去了，原因是什么呢？这里边有个极限的问题，极限是一个特别好玩的事。当你把那个圆的边长想象成平的的时候，请问对吗？不对。因为它肯定不是平的，它是个极限，你要抵抗一种诱惑——把极限想象成是0的诱惑。虽然是个很小的点，但绝不是0。如果它是0，导致的结果就是整个世界会混乱。

为什么从小学数学的时候，老师反复跟你强调一件事，说是古人规定的，0不能做分母。为什么？2÷0等于几？没这样的题。因为2÷0等于无穷，3÷0也等于无穷，10÷0也等于无穷，结论是什么？2=3=10，全等于，全世界都一样，这很明显是错的。所以除数为0会召唤出无穷，无穷就会导致整个世界的逻辑混乱，意味着这个杯子跟桌子是相等的，因为它们除以0都一样。

布鲁诺是怎么被烧死的吗？当时布鲁诺认为，上帝以其无穷的力量创造了不计其数的世界。这个论断说出来了以后，他就被当作异端烧死了。古人不敢召唤出无穷，觉得无穷是一个很难驾驭的东西。

阿基米德还算出了抛物线弓形的面积。算抛物线下边的面积，有公式就能算得出来。在抛物线的顶上切一刀，这上面就形成了一个不规则的弓形，这个弓形的面积怎么算？没有微积分的工具，在这个弓形内画一个三角形，两边多出两个耳朵，这两个耳朵怎么办呢？再画两个三角形，这不就又接近一点了吗？把面积又抠小了一点，又多出四个小耳朵，再画四个三角形，然后把这个三角形无穷无尽地画下去，一直画到什么程度呢？画到无穷小的程度，把那个极小值忽略掉，得到的几乎就是那个弓形的面积了。因为无法用无穷来算叫作忽略极小值。是阿基米德当年所用的研究弓形面积的方法。

直到今天三维建模还是采用这个方法，比如说《怪物史莱克》全部都是用三角形来建模的。其中的人物有多清晰，取决于他们用的那个小三角形有多小，当那个三角形小到足够小的时候，一条完美的弧线是一样的。直到今天阿基米德所用的这个方法，计算机和数学建模依然在用，只不过计算机增加了它运算的能力，多了不起！

微积分是17世纪的人的发明，是牛顿、莱布尼茨他们的发明，直到1998年10月，阿基米德的手稿重见天日。有人在一个拍卖会上看到了那个手稿，就是他当年在算这些东西时的想法。所以他是真正的微积分思想的奠基人，他那时候已经用到了微积分的想法。

阿基米德是怎么死的吗？罗马人攻进了希腊，当时阿基米德还在他的房间里面做演算。罗马人的将军告诉士兵说，阿基米德一定要留着，因为他是个伟人，所以千万不要打扰他。结果有一队士兵踹开他的门，进到他房间的时候，一脚踩坏了他演算的稿纸，阿基米德说：“出去！你们打扰到我计算了。”于是那个人一刀就把他捅死了。

阿基米德在死之前说：“在现在和未来的几个世纪中，某些人会利用这种方法，找到我们尚未掌握的其他定理。” 你知道这句话是写给谁的吗？揭开这个谜题的是牛顿，牛顿用了微积分的思想彻底揭开了宇宙的奥秘。

“这位无与伦比的天才在数学的无限性面前感到了自己生命的有限性。他认识到还有很多事情要做，找到我们尚未掌握的其他定理。数学家都有这样的感觉，研究课题永无止境，阿基米德本人也要俯首称臣。”这就是无穷有概念，无穷是了解微积分的第一步。你得能够想象出一个无穷小，但它不是0，去模拟接下来的运动。运动之谜的奠基人是伽利略。伽利略认为宇宙是一部伟大的著作，这部著作是用数学的语言写成的。如果不懂数学，无法读懂这个宇宙。伽利略还去看钟摆的摆动。他发现无论钟摆的摆幅多少，所用时间都是一样的。伽利略是怎么发现的呢？那时候没有手表，伽利略是摸着脉搏做的实验，没有伽利略的研究，后面就不可能有手表。包括全球定位系统的原型、我们今天用到的原子钟，也是通过这些东西来的。

原子钟是怎么回事？“原子钟是伽利略摆钟的现代版本，尽管它和摆钟一样，通过计数振动次数来计时，它追踪的并不是摆锤的来回摆动，计数铯原子在其两种能态间来回转换时的振动次数，这种能态转换每秒钟要进行9,192,631,770（约91亿）次。虽然原子钟和摆钟的运行机制不同，原理是一样的，即重复性的往复运动可以用来计时。

“反过来，时间也可以确定你的位置。GPS（全球定位系统）的24颗卫星在12000英里的高空绕轨运行，当你使用汽车上的GPS导航仪时，你的设备至少会从其中的4颗卫星那里接收无线信号。每颗卫星都搭载着4台原子钟，它们的时间精密度均可以达到纳秒（十亿分之一秒）级。你的接收器会收到多个可见卫星发出的一连串信号，其中每个信号的时间戳都可以精确到纳秒。这正是需要用到原子钟的地方，它们惊人的时间精密度被转化成我们期望GPS具有的空间精密度。”用三角函数测量出你的位置。手机怎么知道我在哪儿呢？手机怎么知道我在桥上桥下？现在都这么精确，因为它是纳秒级别的时间记录，用时间记录就可以知道你和卫星之间的距离，这个系统的几乎所有功能都取决于微积分。“想想卫星和接收器之间的无线通信，通过麦克斯韦所做的研究，微积分预言了电磁波的存在，从而使无线通信成为可能。没有微积分就不会有无线通信和GPS。GPS卫星上的原子钟利用的是铯原子的量子力学振动，而微积分是量子力学方程及其求解方法的基础，没有微积分就不会有原子钟。”伽利略通过钟摆实验帮我们揭示了时间和运动之间的关系，除此之外，那时候他们都想解决的一个问题就是经度测试的问题。你知道航海的时候，纬度容易发现，只要你看太阳的位置，你就知道自己在什么纬度上；但经度很难发现，经度无法测算，所以会出现很多触礁、跑偏的情况，甚至出现事故。当时荷兰、英国这些航海大国就发起悬赏，谁能够解决经度测试的问题，就给谁巨额的奖金。一直到18世纪中期，英国一个叫哈里森的人，才用伽利略的原理解决了经度测量的问题。当时的奖金多少钱你知道吗？2万英镑，极高额的一个奖励，因为他帮航海解决了几乎所有的安全问题。既能测量经度，又能够测量纬度，人们就知道船在什么地方了。

研究运动的高手就是开普勒。过去亚里士多德认为，所有的行星都在正圆轨道上运行。因为正圆是美好的，天上的东西肯定都是美好的，运行轨道就是正圆轨道。但是开普勒说，行星是在椭圆轨道上运行的。在椭圆轨道上运行，就意味着它有变速运动。这些无法彻底通过计算来解决，原因就是当时的人掌握的数学工具不够，需要等到牛顿出现。因为椭圆的运动是完全变动的，形状是变动的、速度是变动的，过去的数学工具无法解决这个问题，要等到微积分的真正诞生才行。

伽利略和开普勒之间经常互相通信，为什么17世纪会是人类的一个分界线，人们从17世纪开始走入科学，17世纪以前都是宗教。原因就是17世纪有了邮政系统，邮政系统使得像伽利略、开普勒和牛顿这些人可以互相写信来矫正自己的思想，所以才会有了同行的评议、有了共识，后来会诞生了英国皇家学会。所以人类世界的种种变化背后，都有它的技术原因。

人类是先有积分思想，后有微分思想，为什么呢？因为积分是诞生在几何之上，微分是诞生在代数之上的，代数比几何要晚。学习微积分的时候，是先学微分，再学积分。微分简单，就是求导；积分要反过来，积分更难，积分的思想更早出现。代数加几何，等于我们说的解析几何，是笛卡尔他们搞的那个东西。今天研究曲线底下的面积或研究曲线的变化率，实际上都是方程。这个方程可以代表我们生活当中的方方面面，无论它是飞机、病毒，还是建筑物，都可以用这个坐标系来实现。

开普勒跟伽利略算一对搭档，他们俩一块儿出现；另外一对搭档就是费马和笛卡尔。费马和笛卡尔两个人竞争得很激烈，笛卡尔比费马大几岁，笛卡尔的地位很高，他觉得费马就是个穷小子。在他们一生的竞争当中，几乎永远都是费马赢。费马能够很轻松地解决很多笛卡尔解决不了的问题，费马提出的很多想法都比笛卡尔更早。他不用求导数的方法，就能够找出极大值。

关于费马的贡献：

“费马为现代形式的微积分铺平了道路，他的最短时间原理揭示出优化深深地嵌在大自然的结构之中。”大自然是追求优化的，因为它的进化就是朝着这个方向去的。

“他在解析几何和切线方面的研究开辟了一条通往微分学之路，其他人将沿着这条路继续前进。他高超的代数技巧让他能够求出某些曲线下方的面积。”他求曲线下方面积的方法是把这条曲线用一根一根的梁支起来。你想象有很多根小的矩形，然后把这个小的矩形的面积算出来，加在一起，不就是等于这个曲线的面积了吗？

“费马的研究成果使积分学向前迈进了一大步，并为接下来的突破奠定了基础。”

“尽管如此，他的成果仍然比不上牛顿和莱布尼茨即将发现的那个秘密，后者彻底改变并统一了微积分的两个部分。费马已经很接近这个秘密了，但遗憾的是，他错过了它。缺少的一环与他创造的某个东西有关，隐含在他求大值和切线的方法中，但他从未意识到它的重要性。它后来被人们称为导数，它的应用将远远超出曲线及其切线的范畴，能够涵盖任何种类的变化。”

很多没有学过数学的人听到“导数”这个词的时候，就已经开始有点反胃了。导数是什么呢？比如说这儿有一条曲线，曲线上有一条切线，这个切线的斜率就是切点的导数，切线的斜率表示的是变化率。

在生活当中一个东西多快？多陡？多敏感？凡是你问这样的问题的时候，其实问的都是变化率。变化率怎么算出来呢？唯一的办法就是求导。你能够在每一个点上求出导数，你就知道这个点的变化率。

等牛顿和莱布尼茨登场以后，微积分的三大核心问题，正向问题，即已知一条曲线，求它各处切线的斜率，也就是变化率，相信大家都做过这样的题；反向问题，已知一条曲线的各处斜率，求这条曲线的方程；面积问题，已知一条曲线，求曲线下方的面积。微积分说到底就这三件事，知道切线，求方程；知道方程，求切线；知道方程，求面积。上学的时候把它当作考试来对待，不知道它的意义，但实际上这个可以应用在医学、建筑、火箭发动机等各个方面。变动的运算，都可以用方程和图形来表示，这就是微积分的力量所在，这三大核心问题涉及物理、工程、金融、医学等等。

人的大脑比较善于理解线性问题，线性的东西我们都比较容易理解，非线性的东西很不容易理解，放大曲线中的图像。比如说这儿有条曲线，曲线的变化率不知道是多少，把它放大，把这个曲线放到足够大，用显微镜去看这一小段。弯曲的曲线在这一小段上拿显微镜去看，是不是都像是一条直线？这就是微积分的方法。发现那个看起来很奇怪的曲里拐弯的曲线，在这个点上就是一条斜线，是直的。 这时候我们就容易理解了，所以这就是求导数。这些东西是牛顿、莱布尼茨他们这些人帮我们解决了。牛顿和莱布尼茨帮我们驯化了数学，驯化了这头难以掌控的野兽。

微积分离我们其实并不远，解决我们生活中问题的东西，包括我们昼夜的变化速率、物种的平衡等等。比如说，这草原上狼多好还是羊多好？假如你说狼很坏，把狼都打死吧。狼都打死，羊多了，草就没了，草没了，人也受影响；那你说多养狼，狼太多，把羊吃没了，狼就饿死了，狼要吃人怎么办呢？所以物种平衡怎么把握？你看是不是不同的变化率？只要牵扯不同的变化率，通过微积分来计算。

牛顿和莱布尼茨是彻底揭开了这个秘密的人，他们把之前的微积分思想彻底变成了微积分工具。“在牛顿和莱布尼茨创立微积分之后，情况发生了变化。他们各自发现并证明了一个基本定理，它能使这类问题常规化。该定理将面积与斜率联系起来，进而将积分与导数联系在一起。这个基本定理的影响力惊人，几乎一夜之间面积问题就变得容易解决了。”牛顿说：“并非所有方程都可以用曲线来表示，但我能在不到半刻钟的时间内，判断出它是否可以求积。”

“牛顿的隐秘源泉就是微积分基本定理。尽管他和莱布尼茨都不是很早注意到这个定理的人。”但他们创立的方法，现在已经普及开来。微积分这头怪兽被拔除了尖牙，变成了青少年的家庭作业。今天学高等数学、学微积分，觉得很头疼。假如你能把它当作一头被拔掉了尖牙的怪兽来对待，你不觉得自己无上光荣吗？你的先辈帮你解决了这个问题，让你能够很愉快地计算这个奇怪的图形的面积，这是一件多么光荣的事情！

学习微积分的学生在基本定理当中，将它视为理所当然。今天不会感谢牛顿和莱布尼茨，只会觉得他们给我们增加了家庭作业，我们觉得理所当然，这个过程是非常艰难的过程，没有他们这样的洞察和发现，我们今天根本不会求积分。

曲线求积的问题得到了解决？

“它将引起一个连锁反应，就像被推倒的多米诺骨牌一样，一个接一个问题都会迎刃而解。而且我们可以用它来回答笛卡尔眼中那个超出人类理解范围的问题，即算出任意曲线的弧长。有了它，人们就可能算出平面上任何一个不规则形状的面积，还可以计算球面、抛物面、瓮、桶以及其他绕过轴旋转曲线所得到的曲面的表面积、体积、重心。

“不仅如此，某些预测问题将得到解决。只要解决了曲线求积问题，我们就可以预测出运动物体在遥远未来的位置。比如，即使一颗行星受到的引力与我们宇宙中的引力不同，我们也能预测出某一时刻它在轨道上的位置。我之所以称曲线求积问题为积分学的圣杯，是因为许许多多的其他问题都可归结为这个问题。如果它被解决了，其他问题也会得到解决。

“这就是算出任意曲线下方面积如此重要的原因……从现代的角度看，面积问题旨在预测以不断变化的速率变化的事物和与它随时间的累积程度之间的关系。它与银行账户的波动性流入和累计余额有关；它与世界人口的增长率和地球上的净人口数有关；它与化疗药物在患者血液中不断变化的浓度和随时间的累积暴露剂量有关，因为总暴露量会影响化疗药物的效果和毒性。”

面积问题之所以重要，因为它跟我们生活的方方面面都有联系。大家知道斜率是变化速率问题，面积是累积效果问题，就是用这样的速度做了这么长的时间，到底做了多少呢？这就是面积问题。所以在生活当中，我们不但要知道变化速率问题，也要知道累积效果问题。变化速率是微分，整个面积是积分，这就是微积分。

在过去，艾滋病是一个不治之症。所以大家觉得艾滋病会把地球上人口都消灭掉，因为艾滋病的潜伏期是十年。在这十年时间里，这个人看起来一点问题都没有，所以他就可以正常地生活和交往。各位你想想看，十年期间他带着病毒到处跟人交往，没有任何问题，但时间一过很快就死，死亡率极高。

当时很恐慌觉得艾滋病会让人类灭亡，艾滋病并没有这样，原因是什么呢？有一个华裔的医学家何大一，他和数学家艾伦·佩雷尔森用微积分解决了艾滋病病毒的问题。他们发现在这十年的病毒期间，以前的治疗方法就是没办法，这十年反正是潜伏期，也没什么症状，就别治了，等到发作一发作，人就死了。

于是何大一和他的搭档，就在人体当中截取了一个微小时间段中的病毒变化数，去计算病毒涨落的方程。发现这十年时间里，病毒并不是没有发作，而是天天发作，但是你的白细胞和自然杀伤细胞每天都在和病毒作战。你的白细胞的大量工作，使得病毒在你体内的数量达到了均衡，看起来是不动的，但实际上每天有大量的病毒死去，有大量病毒产生，白细胞和自然杀伤细胞有大量的损耗，当你用数学定义了这件事以后，你就可以给他配药，然后就发明了鸡尾酒疗法。

鸡尾酒疗法通俗点讲，在这十年时间里，给你的白细胞帮忙，让你的白细胞能够更厉害一点。艾滋病已经变成了一个慢性病，基本上它不会像过去那样，得了就死了。只要你长期吃药，就能够一直活下去，这是多么了不起的发现！而这个发现的背后，大量的我们大家看起来很头疼的数学公式。1996年，何大一博士被评选为《时代》周刊的年度风云人物，厉害吗？这就是微积分的力量。

牛顿《自然哲学的数学原理》，揭示了力学的世界，然后用三重积分的方法帮我们解决了二体问题。地球跟月亮、两个星星互相吸引，这叫作二体问题。二体问题其实很难计算，因为它在变动当中，牛顿用三重积分的方法解决了，能够预测月亮的轨道。但是三体问题无法解决，牛顿到死都没有解决三体问题，现在的科学家可能也很难算出来，三体问题始终是一个很难的问题，有本小说叫《三体》就是从这儿来的。

一个美国的女性黑人科学家凯瑟琳·约翰逊，曾经被拍成过一部电影，叫《隐藏人物》。

“1962年2月20日，约翰·格伦上校完成了绕地球飞行三周的任务后，在约翰逊精确计算的指导下重返大气层，并且安全地降落在北大西洋，他是美国的英雄，后来当选了参议员。但很少有人知道，在格伦创造历史的那一天，直到凯瑟琳·约翰逊本人检查了所有攸关生死的计算后，他才同意执行这次飞行任务。换而言之，格伦把自己的生命托付给了约翰逊这个数学家。”

为什么呢？你想一个人从太空轨道上要回归地球，地球上的地貌有多么复杂，有山、有海、有风、有各式各样的这种地貌，你降落的位置只要稍微偏一点点，没有降落到他们指定的大西洋的那个位置上，这人就死了。假如我们只学一个πr2这样的方式，根本完成不了。1962年没有那么发达的计算机，这个黑人女科学家就用粉笔在黑板上手算大量的公式，算各种各样的形状，算地球上的每一个位置，确定他会落在大西洋上的那个位置，然后这个英雄才愿意执行这个飞行任务。

格伦成为英雄，当了参议员，但是约翰逊一直默默无闻，她是一个隐藏的人物，她在背后，大家不知道这个数学家所做的贡献。一直到2015年，97岁高龄的她获得了奥巴马总统颁发的总统自由勋章。一年以后，美国国家航空航天局（NASA）以她的名字命名了一座大楼，大家认可了这位数学家的贡献。

《独立宣言》是在微积分的影响之下写出来的。大家会觉得很奇怪，《独立宣言》是个政治的东西、文字的东西，怎么会跟微积分有关呢？《独立宣言》的起草者杰斐逊是美国的第三任总统，杰斐逊本人是一个建筑师、发明家和农场主，同时也是第三任总统和《独立宣言》的起草者。他还是牛顿的信徒，所以《独立宣言》开篇所写的话就跟牛顿在《自然哲学的数学原理》那本书中所写的一模一样，叫作“我们认为有些真理不证自明”。也就是说从公理着手，然后凭着逻辑的力量，他从这些公理中推导出一系列难以回避的问题，《独立宣言》的起草思路。这个思路来自哪儿呢？来自牛顿写的《自然哲学的数学原理》。

学几何是不是上来讲公理？说有些公理不证自明。比如说两条平行线不会相交，这是公理；三角形两边之和大于第三边，这是公理；两点之间直线最短，这是公理。不明白为什么要有公理？公理就是要搭建的一个圣殿底下的基础，沿着这几个基础，全部都是公理和公理之间的应用和引用，从而证明出定理，然后这个定理如果得到认可，它就可以像公理一样被使用，然后再去证明下一个定理。人类就是这样一步一步地往前推进的，这就是科学的思想。《独立宣言》都是来自微积分的影响。

常微分方程是只有一个变量的方程，在生活当中，其实面临的是更多个变量。比如说飞机的机翼一展开，在天上这样抖。飞机的机翼是多么复杂的形状，它不是圆形、不是圆柱、不是圆锥，它全是弧线和曲面。天上的风的力量极大，如果你不能够很好地计算这个翅膀所承受的每一个点的力量，你怎么知道它飞着飞着不会掉了呢？飞机整天在这儿飞，飞行员说各种事故他们都见过，没见过晃散了的。因为咱们担心的是晃，咱们在飞机上上下左右这么晃，就觉得要吓死了。我们觉得晃是很危险的一件事，飞行员告诉我说，他们干了一辈子，没见过哪个飞机是晃散架的。

想想那个翅膀那么薄，天空中那么大的风，怎么能够确定它是安全的呢？

“其中涉及的数学计算可能难度极大，部分原因在于飞机的几何结构十分复杂。飞机不像球体、风筝或者轻木滑翔机，它的形状复杂得多，包含机翼、机身、发动机、尾翼、襟翼和起落装置，这些组成部分都能使高速掠过飞机的气流发生偏转。而且，高速气流一旦发生偏转，就会对使它偏转的物体施加一个力。”你把手伸到车窗外边去，有没有感受到很大的力在推你的手？这个就是你使得那个风发生偏转了，一偏转，力量就来了。所以你那个发动机上的大疙瘩，遇到了风吹，它就抖，因为它大，影响了风的方向。

“偏微分方程在这个过程当中发挥了诸多方面的作用。比如，除了计算升力和阻力之外，波音公司的应用数学家还用微积分预测了飞机以600英里的时速飞行时机翼会如何弯曲。当机翼受到升力时，升力会导致机翼向上弯曲和扭曲，工程师试图避免的一种现象是被称为气动弹性颤振的危险效应，它类似于微风吹过百叶窗帘时发生的颤振。”你看风吹百叶窗是什么反应？它是上下抖动。

“在好的情况下，机翼的这种不受欢迎的振动会造成旅途的颠簸和不适。而在坏的情况下，这种振动会形成一个正反馈回路：当机翼震颤时，它们会改变周围的气流，并使自身震颤得更厉害。众所周知，气动弹性颤振会损坏实验飞机的机翼，导致结构失效和坠毁。”它抖得太厉害了以后，力量不断地正向反馈，变得越来越大，机翼可能会断掉。

“波音公司的数学家将机翼近似分解为几十万个微型立方体、棱柱体和四面体，这些较为简单的形状扮演着基本结构单元的角色。就像在面部手术的建模阶段一样，他们先要为每个构建单元的刚度和弹性赋值，然后这些构建单元会受到临近构建单元施加的推力和拉力。弹性理论的偏微分方程可以预测出每个构建单元会对这些力做出怎样的反应，在超级计算机的帮助下，所有这些反应会被组合起来，用于预测机翼的总体振动情况”。

不能把机翼当作一个整板，他要把机翼切成一个一个的小形状，这些小形状之间还要互相传导力量，才能够算出来机翼的安全承受力。所以你坐飞机的时候，不同的飞机颠簸程度是不一样的。千万别把颠簸程度简单地当作是今天运气不好，遇上风了。不是，你坐糟糕的飞机就会颠得厉害，你坐新的、大的、好的飞机，就会颠得轻计算能力更强了。这就是我们的生活所受益的地方。

有的孩子有一个宏大的目标，说想成为科学家，那你得学微积分。有的说我想成为生物学家，看起来不要数学对吗？要好好学微积分，没有微积分，你根本不可能成为生物学家。有的说我想成为经济学家，去学微积分。有的说想成为投资人、银行家，去学微积分。你做任何东西，想做到高手，都得懂数学，否则你是在表面上停留的。

包括我们用的微波炉，完全是用微积分发明出来的。当年一个研究武器的公司发现了用在武器上的磁控管，但是不知道民用该怎么用。后来有一个实验人员在用磁控管做实验的时候，突然发现自己口袋里的花生巧克力化掉了，原因是磁控管产生的波会使得巧克力内部发生振动，从而加热。

用微波炉来测量光速，微波炉怎么测量光速？其实这事可以做实验的，还是安全。你把微波炉里边的转盘拿出来，然后放一块奶酪在盘子里，放进微波炉加热。加热三十秒以后，把盘子取出来。这时候你会看到奶酪有的地方已经熔化了，有的地方还没熔化，它先熔化的地方是哪儿呢？先熔化的地方就是热点。这个热点对应着微波炉微波模式的腹点，是振动剧烈的地方，它类似于正弦波的波峰和波谷。

对于一台运行频率为2.45千兆赫的标准微波炉，发现两个相邻熔点之间的距离大约是6厘米，从波峰到波谷的距离，也就是半波长。那么实际上它的波长就是12厘米。怎么用它计算光速呢？将微波炉的振动频率乘以你在实验中测得的这个波长，就能够得出光速，或者非常接近光速的结果，就那么好玩。

而微波炉的原理就来自傅里叶，傅里叶就是发现了用正弦波来解决这些问题的人。他把这些东西都简化为正弦波，后来发现正弦波真的很好用，包括我们今天做电脑断层扫描（CT）、核磁共振扫描（MRI）、我们用的电子琴、语音合成器，全部都是用正弦波的原理，它们的奠基人都是傅里叶。没有他就没有我们今天所用的这些跟波有关的东西。未来微积分将用来做什么呢？微积分会用来计算DNA的缠绕数、计算非线性问题、计算混沌问题、计算复杂系统和高维诅咒的问题，就是高维几何，黎曼几何就是搞这个的。

包括计算机、人工智能以及洞察力的问题，其实未来都是用更高级的数学工具来解决，因为数学工具也在进化。黎曼几何就是数学工具的进化，用高级的代数、高级的微积分，去解决更加复杂的问题。

让我们回到爱因斯坦，因为爱因斯坦毕竟是人类历史上伟大的科学家。2017年的诺贝尔物理学奖获得者是引力波的探测者。引力波是什么呢？引力波是广义相对论预测到的又一个惊人的效应。

“这个理论指出，一对互相缠绕的黑洞会在它们周围的时空中形成漩涡，并有节奏地拉伸和挤压时空，由此产生的时空扰动会像涟漪一样以光速向外扩散。爱因斯坦曾经怀疑我们不可能测量到这种波，并担心它可能只是一种数学错觉。”数学错觉就是数学上说得通，但是实际上看不到。

2017年诺贝尔物理学奖的获得者的关键成就在于，他们设计并制造出了有史以来灵敏的探测器。

“2015年9月14日，他们的装置探测到一个时空震颤，仅相当于质子直径的千分之一。作为对照，这就好比将地球与太阳的距离微调了相当于人的一根头发直径的长度。”就这么小的一个震颤，在2015年被人类的仪器捕捉到了。

《微积分的力量》美好的地方就在于，他虽然写数学，但他有着非常强烈的人文情怀和诗一样的语言。他发出感慨说：

“作为漂浮在一个中量级星系中的一颗微不足道的行星上的一个无足轻重的物种，智人是如何成功预测出，在距离地球十亿光年之遥的浩瀚宇宙中的两个黑洞相撞后，时空会发生怎样的震颤呢？早在引力波到达地球之前就知道它的声音应该是什么样子了。多亏有微积分、计算机和爱因斯坦，我们的预测是正确的。

“引力波是人类有史以来听过的微弱的耳语。在我们成为灵长类动物之前，在我们成为哺乳动物之前，甚至在我们还是微生物的时候，这种轻柔而微小的波就已经开始朝我们漾来。当它在2015年的那一天抵达地球的时候，因为我们正在倾听，也因为我们通晓微积分，所以我们才能听懂这轻柔的耳语意味着什么。”

还有比这更崇高而美好的事情吗？再次感谢这本书，感谢作者。从一开始的勇气到后来能够慢慢的读，对微积分会有一个完全不同的感受。不再排斥它，不再憎恨它，不再把它当作一个唯恐避之不及的东西。想尽量地了解它、尊重它，而不是说“我根本不感兴趣”，人类赖以生存的有别于其他动物的重要的工具之一。