标题：斐波那契数列与黄金分割

引入：趣味引入，斐波那契数列与黄金分割

故事:兔子数列的故事

特征：发现规律

通项：递推式、通项公式

推广：向日葵、螺纹、苹果图标的logo设计

逐字稿：

今天甫老师带大家来认识一个，让艺术家沉醉、让数学家痴迷的数列----斐波那契数列。斐波那契数列的提出者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契，生于公元1170年的披萨，哦不对，是比萨。就是著名的比萨斜塔的那个比萨，他也被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，在他出版的《算盘全书》中提出一个关于兔子繁殖的问题，由此引发对斐波那契数列的研究。

那么这个神奇的斐波那契数列长成什么样子呢？它是由

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，等等的数字组成。

我们可以从不同的角度来欣赏斐波那契数列，从计算的角度，菲波那契数列很容易被理解，1+1=2，1+2=3，2+3=5，3+5=8，以此类推，从第三项开始，每一项都等于前两项之和，用数列递推公式表示出来就是：Fn=Fn-1加上Fn-2，n取大于等于3的整数。这个数列的的通项公式长成这样，是不是觉得有点诡异，而在数学家的眼里，这就是美的化身，因为这个公式是用无理数表示有理数的典例。

从应用的角度来看，菲波那契数列在自然界中经常神奇的出现，一朵花的花瓣数量，一般是一个斐波那契数，种子的排列和向日葵的螺旋线条数也常常对应着斐波那契数。

而这其中最能给人启发的，是这些数字展现出来的优美形式。让我们看一下，对斐波那契数进行平方，1的平方是1，2的平方是4，3的平方是9，5的平方是25，以此类推。由斐波那契数列的定义我们可以知道，连续两个数字相加可以得到下一个斐波那契数。但是你可能不知道把斐波那契的平方加起来，得到的结果会有什么意义？

好，下面我们一起尝试一下，1+1是2，1+4是5，4+9是13，9+25是34，可以看出连续两个斐波那契数的平方和，还是一个斐波那契数。事实上还有另外一个规律，如果我们计算一下头几个斐波那契数的平方和，我们来看一下结果是什么？1+1+4是6，再加上9得到15，再加上25得到40，再加上64得到104，回头来看看这些数字，他们并不是斐波那契数。那如果思考到这里，你觉得没什么规律可循的话，那你就太小看这个数列了。

如果我们仔细观察，就可以看到它的背后隐藏着的斐波那契数，你看到了吗？见证奇迹的时刻来了，请看，6=2×3，15=3×5，40=5×8，104=8×13，我们看到了什么？菲波那契数！当然，现在我们已经发现了这些数字好玩的算法，而让我们更好奇的是，弄清楚背后的原因，让我们看看最后这个等式，为什么1、1、2、3、5、8的平方和，等于8×13？

通过一个简单的图形就能解释清楚，首先我们画一个1×1的方块，然后再在旁边放一个相同尺寸的方块，拼起来之后得到一个1×2的矩形，在这个下面再放一个2×2的方块，之后在右侧再放一个3×3的方块，然后再往上放一个5×5的方块，之后是8×8的方块，这样，就得到一个大的矩形。现在问大家一个简单的问题，这个矩形的面积是多少？

一方面，矩形的面积等于长乘宽，长等于8+2+3=13，宽等于5+3=8，所以矩形面积为13乘8等于104。另一方面，该矩形由边长分别为1、1、2、3、5、8的正方形组成，正方形面积为边长的平方，分别是1、1、4、9、25、84，加起来矩形面积依然是104。这就解释了，为什么1、1、2、3、5、8的平方和等于8×13。如果我们继续探究下去，会得到13×21的矩形，21×34的矩形，并依次类推。

如果我们以各个正方形的边长为半径画四分之一圆弧，会得到这样漂亮的螺旋线，有很多自然的产物都具有这样优美的线条。而在艺术家眼里，这种线条便成为了构图的黄金法则。

我们再来看斐波那契数列的另一种运算。用斐波那契数除以它后面的数字，1除1得1，5除8得0.625，13除21约得0.619，34除55约得0.61818。越往后，商越来越接近一个神奇的数字，是的，那就是黄金分割比------0.618033，一个让无数数学家、艺术家和科学家都为之着迷的数字。

对于这样的神奇数列，你爱了吗？关注甫老师，为你分享更多有趣的数学知识。