问题
模型：介质薄膜透射模型，从左向右分为三层A|B|C，其中A和C是半无限大真空（或者背景介质），B为薄膜介质。以下两个判断为真：
- 从A向B入射一单色波，幅度为$a$，频率$f=f_\text{resonant,B}$，该单色波将激发一个C中的透射模式$a'$，比其他$f\neq f_\text{resonant,B}$要大，可以认为$a' \approx a$。
- 薄膜B中存在共振模式，频率$f=f_\text{resonant,B}$，如果在B层中放一个点源，该模式在薄膜中的存在寿命是最长的。
「悖论」一个寿命最长的模式频率为什么和共振透射模式相等？
分析：
-
点源的模式其实是两个模式的组合，记为$m_\text{l,B}$和$m_\text{r, B}$即左$k$模式和右$k$模式，整个系统端口从$\text{B}\rightarrow\text{C}$的响应方程：
$$
\begin{align}
H_{\text{B}\rightarrow\text{C}}(m_\text{l,B})&=\lambda_\text{l}m_\text{r,C} \
H_{\text{B}\rightarrow\text{C}}(m_\text{r,B})&=\lambda_\text{r}m_\text{r,C}
\end{align}
$$- 表面上看，在频域我们有$\lambda_\text{l}=-\lambda_\text{r}$。所以从$\text{B}\rightarrow\text{C}$的成分非常少。
- 从时域上看，点源的左$k$模式和右$k$模式在传播到$\text{C}$区域的时候，实际上存在一个小量的差异，大约等于遇到$\text{B}$层界面第一次的透射损失（后续的可以抵消掉）。
- 因此我们引入一个更严格的形式：
$$
\begin{align}
H_{\text{B}\rightarrow\text{C}}(m_\text{l,B})&=(\lambda_\text{l}+\varepsilon)m_\text{r,C} \
H_{\text{B}\rightarrow\text{C}}(m_\text{r,B})&=(\lambda_\text{r}+\varepsilon)m_\text{r,C}
\end{align}
$$- 由于对称性，我们可以肯定两部分差异是相等的，利用$m_\text{l,A}$模式可以了解到上述$\varepsilon$的部分的去向，此处略。
- 这样我们就知道，左$k$模式和右$k$模式在$\text{B}\rightarrow\text{C}$传输过程中实际上是不完全线性“负”相关的，而是相差一个小量$\varepsilon$，该部分对应于第一次激励信号波形遇到第一个界面时的透射损失。
- 在内积空间意义上，只有内积严格为0才是线性无关。
- 一个系统对两个输入向量产生的本征值为相反数，那么这两个向量属于线性负相关。
- 此外，如果一个系统中输入向量相反，但在输出部分叠加时不严格为0信号，那么实际上这个系统中，这两个向量也是不完全线性负相关，这是一个奇异性的例子。
共振透射时，输入信号从$\text{A}$中进入到$\text{B}$中，激发的是$m_\text{r,B}$，而并不是$m_\text{r,B}$和 $m_\text{l, B}$的等比例组合。因此，其透射到$\text{}C$的本征值由$\lambda_\text{r}+\varepsilon$决定。
综上所述：
- 薄膜内的共振模式是两个模式的线性组合
- 薄膜内的共振模式在取定一个出射端口时，其本征值并不完全相反，还相差一个小量，该小量由界面第一次的透射泄漏程度决定
- 共振透射时仅能激发出薄膜内的一个模式，因此可以产生单向透射，而不是互相抵消的情况
