堆的预备知识
- 堆是一个完全二叉树。
- 完全二叉树： 二叉树除开最后一层，其他层结点数都达到最大，最后一层的所有结点都集中在左边（左边结点排列满的情况下，右边才能缺失结点）。
- 大顶堆：根结点为最大值，每个结点的值大于或等于其孩子结点的值。
- 小顶堆：根结点为最小值，每个结点的值小于或等于其孩子结点的值。
- 堆的存储： 堆由数组来实现，相当于对二叉树做层序遍历。如下图：
对于结点 i ，其子结点为 2i+1 与 2i+2 。
堆排序算法
现在需要对如上二叉树做升序排序，总共分为三步：
- 将初始二叉树转化为大顶堆（heapify），此时根结点为最大值，将其与最后一个结点交换。
- 除开最后一个结点，将其余节点组成的新堆转化为大顶堆，此时根结点为次最大值，将其与最后一个结点交换。
- 重复步骤2，直到堆中元素个数为1（或其对应数组的长度为1），排序完成。
下面详细图解这个过程：
步骤1：
初始化大顶堆，首先选取最后一个非叶子结点(我们只需要调整父节点和孩子节点之间的大小关系，叶子结点之间的大小关系无需调整)。设数组为arr，则第一个非叶子结点的下标为：i = Math.floor(arr.length/2 - 1) = 1，也就是数字4，如图中虚线框，找到三个数字的最大值，与父节点交换。
然后，下标 i 依次减1（即从第一个非叶子结点开始，从右至左，从下至上遍历所有非叶子节点）。后面的每一次调整都是如此：找到父子结点中的最大值，做交换。
这次调整后，根节点为最大值，形成了一个大顶堆，将根节点与最后一个结点交换。
步骤2：
除开当前最后一个结点6(即最大值)，将其余结点[4,5,3,1]组成新堆转化为大顶堆(注意观察，此时根节点以外的其他结点，都满足大顶堆的特征，所以可以从根节点4开始调整，即找到4应该处于的位置即可)。
步骤3：
接下来反复执行步骤2，直到堆中元素个数为1：
堆中元素个数为1， 排序完成。
JavaScript实现
// 交换两个节点
function swap(A, i, j) {
let temp = A[i];
A[i] = A[j];
A[j] = temp;
}
// 将 i 结点以下的堆整理为大顶堆，注意这一步实现的基础实际上是：
// 假设 结点 i 以下的子堆已经是一个大顶堆，adjustheap 函数实现的
// 功能是实际上是：找到 结点 i 在包括结点 i 的堆中的正确位置。后面
// 将写一个 for 循环，从第一个非叶子结点开始，对每一个非叶子结点
// 都执行 adjustheap 操作，所以就满足了结点 i 以下的子堆已经是一大
//顶堆
function adjustHeap(A, i, length) {
let temp = A[i]; // 当前父节点
// j<length 的目的是对结点 i 以下的结点全部做顺序调整
for(let j = 2*i+1; j<length; j = 2*j+1) {
temp = A[i]; // 将 A[i] 取出，整个过程相当于找到 A[i] 应处于的位置
if(j+1 < length && A[j] < A[j+1]) {
j++; // 找到两个孩子中较大的一个，再与父节点比较
}
if(temp < A[j]) {
swap(A, i, j) // 如果父节点小于子节点:交换；否则跳出
i = j; // 交换后，temp 的下标变为 j
} else {
break;
}
}
}
// 堆排序
function heapSort(A) {
// 初始化大顶堆，从第一个非叶子结点开始
for(let i = Math.floor(A.length/2-1); i>=0; i--) {
adjustHeap(A, i, A.length);
}
// 排序，每一次for循环找出一个当前最大值，数组长度减一
for(let i = Math.floor(A.length-1); i>0; i--) {
swap(A, 0, i); // 根节点与最后一个节点交换
adjustHeap(A, 0, i); // 从根节点开始调整，并且最后一个结点已经为当
// 前最大值，不需要再参与比较，所以第三个参数
// 为 i，即比较到最后一个结点前一个即可
}
}
let Arr = [4, 6, 8, 5, 9, 1, 2, 5, 3, 2];
heapSort(Arr);
alert(Arr);
程序注释： 将 i 结点以下的堆整理为大顶堆，注意这一步实现的基础实际上是：假设 结点 i 以下的子堆已经是一个大顶堆，adjustHeap 函数实现的功能是实际上是：找到 结点 i 在包括结点 i 的堆中的正确位置。后面做第一次堆化时，heapSort 中写了一个 for 循环，从第一个非叶子结点开始，对每一个非叶子结点都执行 adjustHeap 操作，所以就满足了每一次 adjustHeap 中，结点 i 以下的子堆已经是一大顶堆。
复杂度分析：adjustHeap 函数中相当于堆的每一层只遍历一个结点，因为
具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2n]+1，所以 adjustHeap 的复杂度为 O(logn)，而外层循环共有 f(n) 次，所以最终的复杂度为 O(nlogn)。
堆的应用
堆主要是用来实现优先队列，下面是优先队列的应用示例：
- 操作系统动态选择优先级最高的任务执行。
- 静态问题中，在N个元素中选出前M名，使用排序的复杂度：O(NlogN)，使用优先队列的复杂度: O(NlogM)。
而实现优先队列采用普通数组、顺序数组和堆的不同复杂度如下：
使用堆来实现优先队列，可以使入队和出队的复杂度都很低。
