概率论（二）：随机变量及其分布

随机变量

设随机试验的样本空间为 $S=$ {e}. $X=X(e)$ 是定义在样本空间 $S$ 上的实值单值函数。称 $X=X(e)$ 为随机变量。

离散型随机变量及其分布律

当随机变量的值为有限个或可列无限个时，此时随机变量称为离散型随机变量。假如离散型随机变量 $X$ 的所有可能取值为 $x_{i}(i=1,2,\dots )$ , $X$ 取各个可能值的概率，即事件{ $X=x_{k}$ }的概率，为: $P\left \{X=x_{i} \right \}=p_{i},i=1,2,\dots$ ,，此概率公式称为分布律
由之前概率的定义可知：

$p_{i}\geqslant 0,i=1,2,\dots;$
$\sum_{i=1 }^{\infty }p_{i}=1$

(0-1)分布

当随机变量 $X$ 只可能取0与1两个值时，它的分布律是： $P\left \{X=k \right \}=p^k(1-p)^{1-k},k=0,1$ ,称 $X$ 服从以 $p$ 为参数的（0-1）分布或两点分布

伯努利试验与二项分布

如果试验 $E$ 只有两个可能结果： $A$ 与 $\overline{A}$ ，则说 $E$ 是伯努利试验，设 $p$ 为 $A$ 发生的概率。
进一步，如果将伯努利试验 $E$ 独立重复进行 $n$ 次，则说这一串独立试验为 $n$ 重伯努利试验。
设 $X$ 表示 $n$ 重伯努利试验中事件 $A$ 发生的次数，此时 $X$ 为一个随机变量，则说 $X$ 服从参数为 $n$ , $p$ 的二项分布，记作: $X\sim b(n,p)$ ，分布律为： $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k},k=0,1,\dots ,n$ 。当 $n=1$ 时，二项分布则变为两点分布。

泊松分布

设随机变量 $X$ 所有取值为 $0,1,2,\dots$ ，而取各个值的概率为： $P\left \{ X=k\right \}=\frac{\lambda^ke^{\lambda}}{k!},k=0,1,2,\dots,$ , $\lambda$ 为常数且大于零。X则是服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，记作： $X\sim \pi (\lambda)$

泊松定理：设 $\lambda >0$ 是一个常数， $n$ 是任意正整数，设 $np_{n}=\lambda$ ,则对于任一固定的非负整数 $k$ ，有 $\lim_{n\rightarrow \infty }\binom{n}{k}p^{k}_{n}(1-p_{n})^{n-k}=\frac{\lambda ^{k}e^{-\lambda}}{k!}$ ，也就是说以 $n,p$ 为参数的二项分布的概率值可由参数为 $\lambda =np$ 的泊松分布概率值近似

随机变量的分布函数

设 $X$ 是一个随机变量， $x$ 是任意实数，函数 $F(x)=P\left \{X\leqslant x \right \},-\infty <x<\infty$ 称为 $X$ 的分布函数。

$F(x)$ 是一个不减函数： $F(x_{2})-F(x_{1})=P\left \{ x_{1}<X\leqslant x_{2} \right \}\geqslant 0$
$0 \leqslant F(x) \leqslant 1,F(-\infty )=\lim_{x\rightarrow -\infty }F(x)=0,F(\infty)=\lim_{x\rightarrow \infty }F(x)=1$
$F(x+0)=F(x)$ ,即 $F(x)$ 是右连续的

连续型随机变量及其概率密度

如果对于随机变量的分布函数 $F(x)$ ，存在非负函数 $f(x)$ ，使对于任意实数 $x$ 有 $F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt$ ,则称 $X$ 为连续型随机变量，函数 $f(x)$ 称为 $X$ 的概率密度函数，简称概率密度

概率密度性质：

$f(x)\geqslant 0$
$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1$
对于任意实数 $x_{1},x_{2}(x_{1}\leqslant x_{2}),P(x_{1}<X\leqslant x_{2})=F(x_{2})-F(x_{1})=\int_{x_{1}}^{x_{2}}f(x)dx$
若 $f(x)$ 在点 $x$ 处连续，则有 $F{}'(x)=f(x)$

均匀分布

若连续型随机变量 $X$ 具有概率密度 $f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{b-a},a<x<b & \\ 0,otherwise & \end{matrix}\right.$ ，则称 $X$ 在区间 $(a,b)$ 上服从均匀分布，记作： $X\sim U(a,b)$
其分布函数为 $F(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & x<a \\ \frac{x-a}{b-a} & a \leqslant x<b \\ 1 & x \geqslant b \end{matrix}\right.$

指数分布

若连续型随机变量 $X$ 具有概率密度： $f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\Theta } e^{-\frac{x}{\Theta }}& x>0\\ 0 & otherwise \end{matrix}\right.$ ,其中 $\Theta >0$ 为常数，则称 $X$ 服从参数为 $\Theta$ 的指数分布

其分布函数为： $F(x)=\left\{\begin{matrix} 1-e^{-\frac{x}{\Theta }} &x>0 \\ 0 & otherwise \end{matrix}\right.$

无记忆性： $P\left \{X>s+t | X>s \right \}=P\left \{ X>t \right \}$

正态分布

若连续型随机变量 $X$ 具有概率密度： $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma }}e^{-\frac{(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}},-\infty <x<\infty$ ,其中 $\mu ,\sigma (\sigma >0)$ 为常数，则称随机变量 $X$ 服从参数为 $\mu ,\sigma$ 的正态分布或高斯分布，记作： $X\sim N(\mu,\sigma)$
其分布函数为： $F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma }}\int_{-\infty }^{x}e^{-\frac{(t-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}dt$

$f(x)$ 曲线关于 $x=\mu$ 对称： $P\left \{\mu -h<X\leqslant\mu \right \}=P\left \{\mu <X\leqslant \mu +h \right \}$
当 $x=\mu$ 时，取到最大值： $f(\mu)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$

当 $\mu=0,\sigma=1$ 时称随机变量 $X$ 服从标准正态分布，概率密度为： $\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^{2}}{2}}$ ，分布函数为： $\Phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{t^{2}}{2}} dt$

$\Phi(-x)=1-\Phi(x)$
线性变换：若 $X\sim N(\mu,\sigma)$ ，则 $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$

假如随机变量 $X$ 服从标准正态分布，若 $z_{\alpha}$ 满足： $P(X>z_{\alpha})=\alpha,0<\alpha<1$ ，则点 $z_{\alpha}$ 为标准正态分布的上 $\alpha$ 位点