“可逆矩阵乘以任何矩阵不改变矩阵的秩”解答

在麻省理工《线性代数》Gilbert Strang 的复习课一中,有一道题是这样的:

习题

当时不太明白为什么可逆矩阵乘上矩阵D,矩阵B的零空间与矩阵D的零空间维数是一样的。于是在百度搜索资料,终于明白为什么这样,下面来解答一下:

  • 若A可逆,则A可表示成若干个初等矩阵的乘积
  • 对矩阵B左乘以一个初等矩阵,等价于对B做一次相应的初等行变换
  • 对矩阵做初等变换不改变它的秩

因此,可逆矩阵乘以任何矩阵不改变矩阵的秩。

下面证明:

1. 对矩阵做初等变换不改变它的秩

证明1

2. 若A可逆,则A可表示成若干个初等矩阵的乘积

因为A可以由单位矩阵经过有限次初等变换来得到(从逆过程想,一个可逆矩阵通过消元法最终变换成单位矩阵,即,A-1A=I,从中我们可以得到一个结论:所有可逆矩阵一定可以最终变换成单位矩阵,不可逆矩阵不行,行变换相当于左边乘以初等矩阵,列变换相当于右乘一个初等矩阵,这样一个可逆矩阵就可以由一系列初等矩阵乘积来表示。

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