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基函数

这里讨论B-spline Basis Functions

设U 是m + 1个非递减数的集合，u0 <= u2 <= u3 <= ... <= um。ui称为节点（knots）, 集合U 称为节点向量（knot vector）, 半开区间[ui, ui+1) 是第i个节点区间（knot span）。注意某些ui可能相等，某些节点区间会不存在。如果一个节点 ui 出现 k 次 (即，ui = ui+1 = ... = ui+k-1), 其中 k > 1, ui 是一个重复度（multiplicity）为k 的多重节点，写为 ui(k)。 否则，如果ui只出现一次，它是一个简单节点。如果节点等间距(即， ui+1 - ui 是一个常数，对 0 <= i <= m - 1)，节点向量或节点序列称为均匀的；否则它是非均匀的。

为了定义B-样条基函数，我们还需要一个参数，基函数的次数（degree）p，第i个p次B-样条基函数，写为Ni,p(u)，递归定义如下：

bs-basis[1].jpg

上述公式通常称为Cox-de Boor递归公式。 这个定义看起来很复杂；但是不难理解。如果次数（degree）为零（即， p = 0），这些基函数都是阶梯函数，这也是第一个表达式所表明的。即，如果u是在第i个节点区间[ui, ui+1)上基函数Ni,0(u)是1。 例如，如果我们有四个节点u0 = 0, u1 = 1, u2 = 2和 u3 = 3, 节点区间 0, 1 和2是[0,1), [1,2), [2,3)，0次基函数是N0,0(u) = 1 在 [0,1) ，在其它区间是0；N1,0(u) = 1 在 [1,2)上，在其它区间是0；N2,0(u) = 1在[2,3)上，其它区间是0。如下图所示：

bs-basis-0[1].jpg

为了理解p大于0时计算Ni,p(u)的方法，我们使用三角计算格式。所有节点区间列在左边（第一）列，所有零次基函数在第二列。见下图。

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两个重要的观察

因为 N_i,1(u) 是从 N_i,0(u) 和 N_i+1,0(u)计算的而 因为N_i,0(u)和N_i+1,0(u) 在区间[u_i, u_i+1)和[u_i+1, u_i+2)分别是非零的，N_i,1(u) 在这两个区间都是非零的。换句话说，N_i,1(u)在[u_i, u_i+2)上是非零的。相似地，因为 N_i,2(u) 依赖于N_i,1(u) 和N_i+1,1(u)且因为这两个基函数在[u_i, u_i+2)和[u_i+1, u_i+3)分别是非零的，N_i,2(u)在[u_i, u_i+3)上非零。总之，为确定基函数N_i,p(u), 的非零定义域，可以追溯到三角计算格式直到回到第一列。例如，假设我们想找到 N_1,3(u)的非零定义域。基于上述讨论，我们可从西北和西南方向追溯直到第一列为止，如下图中蓝色虚线所示。因此 N_1,3(u)在 [u₁, u₂), [u₂, u₃), [u₃, u₄) 和[u₄, u₅)上是非零的。或，相等地，它在[u₁, u₅)上非零。

bs-back[1].jpg

总之，我们有下列观察：

基函数 N_i,p(u)** 在[u_i, u_i+p+1)****上非零。或，相等地，N_i,p(u)** 在 p+1****个节点区间[u_i, u_i+1), [u_i+1, u_i+2), ..., [u_i+p, u_i+p+1)****上非零。**
　　 接着，我们看相反的方向。给定一个节点区间[u_i, u_i+1),我们想知道哪个基函数会在计算中使用这个区间。我们可以以这个节点区间开始并画一个西北界限箭头和一个西南界限的箭头。所有封闭在楔形里的基函数使用 N_i,0(u)（为什么？）因此在该区间是非零的。因此，所有在[u_i, u_i+1)上非零的p 次基函数是这个楔形和包含所有N_i,p(u) 的列的交集。实际上，这一列和两个箭头形成一个等边三角形，而这一列是垂直边。 从 N_i,0(u) 数到 N_i,p(u) 有p+1列。因此，等边三角形的垂直边至多有p+1 项，即 N_i,p(u), N_i-1,p(u), N_i-2,p(u), ..., N_i-p+2,p(u), N_i-p+1,p(u) 和N_i-p,p(u)。

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让我们看上图。为了找到所有3次在 [u₄, u₅) 上非零的基函数，画出两个箭头和所有在垂直边的函数是我们想要的。这个例子，是N_1,3(u), N_2,3(u), N_3,3(u), 和N_4,3(u).用黄色三角表示。蓝色 (resp., 红色) 三角显示的是在[u₃, u₄) (resp., [u₂, u₃) )上非零的3次基函数。注意在[u₂, u₃)上只有3个3次基多项式。.
总之，我们观察到下列特性：
　　在任何一个节点区间 [ui, ui+1), 最多有 p+1个p 次基函数非零，即：Ni-p,p(u), Ni-p+1,p(u), Ni-p+2,p(u), ..., Ni-1,p(u) 和 Ni,p(u)。

系数的意义是什么?

最后，让我们研究下Ni,p(u)定义中系数的意义。当计算 Ni,p(u) 时，它使用Ni,p-1(u)和Ni+1,p-1(u)。前者在 [ui, ui+p)上非零。如果u 是在这个半开区间，那么u - ui 是u 和这个区间左端之间的距离，区间长度是ui+p - ui, ，而(u - ui) / (ui+p - ui) 是上述距离的比且在0和1之间。见下图。第二项，Ni,p-1(u)，在[ui+1, ui+p+1)上非零。如果u 在该区间，那么ui+p+1 - u 是 u 到该区间右端的距离，ui+p+1 - ui+1 是区间长度，而(ui+p+1 - u) / (ui+p+1 - ui+1) 是这两个距离的比且值在0和1之间。因此, Ni,p(u) 是Ni,p-1(u) 和Ni+1,p-1(u)的线性组合，有两个系数，都在 u上是线性的，在0和1之间。

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